Il corpo rigido - Le Strutture

Il corpo rigido

Si definisce rigido un corpo che, libero di muoversi, quando è sottoposto all’azione di un sistema di forze cambia la sua posizione nel piano senza cambiare la sua forma.

Posto un corpo rigido su un piano, dopo uno spostamento del corpo si può determinare la nuova posizione che esso assume relativamente alla posizione originaria, individuando lo spostamento subito da un punto P generico appartenente al corpo e la rotazione che il corpo ha compiuto nel piano rispetto alla posizione originaria.

Rappresentando il tutto su un sistema di riferimento cartesiano, il vettore che individua la traslazione subita nel piano dal punto P può rappresentarsi attraverso le sue componenti secondo gli assi cartesiani di riferimento x e y.

Per quanto appena detto consegue che :

Un corpo rigido libero di muoversi nel piano presenta tre possibilità di spostamento, una rotazione, una traslazione lungo l’asse di riferimento X ed una traslazione lungo l’asse di riferimento Y.

Le possibilità di movimento di un corpo rigido vengono solitamente definite come gradi di libertà che il corpo possiede, per tal motivo si afferma che:

Un corpo rigido libero di muoversi nel piano possiede tre gradi di libertà.

Un corpo rigido libero di muoversi nel piano soggetto ad un sistema di forze, resta in equilibrio (non subisce spostamenti) se il sistema di forze che lo sollecita è un sistema equilibrato. Si ricorda che un sistema di forze si dice equilibrato quando presenta la risultante nulla ed il momento risultante nullo rispetto ad un qualunque punto del piano. Dal punto di vista grafico il sistema è equilibrato se presenta il poligono delle forze chiuso ed il poligono funicolare con il primo ed ultimo lato coincidente, mentre dal punto di vista analitico devono verificarsi le tre seguenti condizioni:

Queste sono le cosiddette equazioni cardinali della statica ed esprimo le condizioni di equilibrio di un corpo rigido soggetto ad un sistema di forze. In particolare la prima esprime l’equilibrio alla traslazione lungo la direzione X del sistema di assi coordinato, la seconda esprime l’equilibrio alla traslazione lungo la direzione Y e la terza esprime l’equilibrio alla rotazione intorno ad un punto arbitrario O del piano.

La Trave

La trave costituisce uno degli elementi ddefinire trave un elemento strutturale di forma prismatica nel quale la lunghezza è almeno pari a 3÷4 volte le dimensioni della sezione. Ai fini della modellazione strutturale (schematizzazione di una struttura reale ai fini del calcolo strutturale) una trave può essere rappresentata con un segmento coincidente con l’asse della trave reale. Considerando la trave come un particolare corpo rigido si può affermare che una trave libera di muoversi nel piano cartesiano possiede tre possibilità di movimento (tre gradi di libertà) e cioè può traslare nella direzione dell’asse X, può traslare nella direzione dell’asse Y e può ruotare nel piano XY. Un insieme di tra i base nelle costruzioni moderne. In particolare si può vi non collegate ri a 3t.

rigidamente tra di loro, possiede un numero di gradi di libertà pari a tre volte il numero delle travi (tre gradi di libertà per ogni trave), quindi se indichiamo con t il numero di travi libere che costituiscono il sistema, il numero dei gradi di libertà in totale sarà pa

Le strutture portanti di un manufatto edilizio devono essere ovviamente realizzate in maniera tale da non possedere alcun grado di libertà. Conseguenza ovvia è che una struttura non può essere costituita esclusivamente da travi libere, bensì da un organismo che preveda in qualche modo dei collegamenti tra le travi stesse e tra queste ed il “terreno” (in questa frase si intende per terreno un corpo rigido che non possiede alcuna possibilità di movimento. Realizzato un sistema strutturale i cui elementi hanno tutti i gradi di libertà bloccati tale sistema potrà essere utilizzato ai fini costruttivi per la realizzazione di manufatti edilizi.

I vincoli

I vincoli sono quegli elementi strutturali che hanno la funzione di bloccare alcuni o tutti i gradi di libertà, realizzano in pratica quei collegamenti tra le singole travi e tra queste ed il “terreno” in maniera da ottenere un organismo strutturale funzionale agli scopi per cui lo si realizza.

Diversi sono i tipi di vincoli che vengono schematizzati nella scienza delle costruzioni, ognuno con un nome specifico e con funzioni specifiche, ma si individuano nelle applicazioni piane tre famiglie fondamentali di vincolo:

- vincolo semplico. E’ detto vincolo semplice quel vincolo che è in grado di bloccare un solo grado di libertà;

- vincolo doppio. Si dice doppio quel vincolo che è in grado di bloccare due gradi di libertà del sistema;

- vincolo triplo. Si dice triplo quel vincolo che è in grado di bloccare tutti e tre i gradi di libertà disponibili per un corpo rigido nel piano.

Si differenziano inoltre:

- vincoli esterni. Quei vincoli che collegano la struttura al “terreno”

- vincoli interni (detti anche snodi). Quei vincoli che realizzano il collegamento tra due o più travi.

Quanto detto finora sui vincoli attiene al punto di vista della cinematica delle strutture, mentre dal punto di vista delle forze va osservato che se un vincolo blocca uno spostamento vuol significare che nella sostanza può esercitare sulla struttura un forza (reazione vincolare) in grado di opporsi allo spostamento. Tenendo a riferimento la classificazione prima effettuata può affermarsi quanto segue:

- vincolo semplice. E’ in grado di esercitare una sola reazione vincolare

- vincolo doppio. E’ in grado di esercitare due reazioni vincolari.

- vincolo triplo. E’ in grado di esercitare tre reazioni vincolari.

Verranno qui trattati i principali vincoli in uso nei sistemi piani con le esemplificazioni tipiche relative ai sistemi strutturali analizzati nei corsi di scienza delle costruzioni per i geometri.

Il carrello

Il carrello viene solitamente rappresentato come un triangolo che poggia su due rulletti i quali consentono lo scorrimento del carrello sul terreno lungo il piano di appoggio. Si tratta di un vincolo semplice esterno che è in grado di bloccare esclusivamente la traslazione lungo l’asse perpendicolare al piano di scorrimento. Un tratto di trave libero da un estremo e vincolato all’altro estremo con un carrello conserva la capacità di ruotare e di traslare lungo il piano di scorrimento del carrello mentre non è consentita la traslazione lungo l’asse perpendicolare al piano di scorrimento al punto nel quale la trave e collegata al carrello. Indicando con la lettera s i gradi di libertà che un vincolo sopprime, per un carrello si può affermare che s=1 (vincolo semplice).

Dal punto di vista delle forze va detto che il carrello impedendo la traslazione lungo l’asse perpendicolare al piano di scorrimento è in grado di esercitare una reazione vincolare proprio lungo tale direzione. Si è soliti indicare la reazione vincolare di un carrello con la lettera R.

Il pendolo

Il pendolo è un vincolo semplice che può essere utilizzato sia come vincolo esterno sia come vincolo interno. Come vincolo esterno assume un comportamento del tutto simile al carrello, bloccando so 848i82i lo il grado di libertà relativo allo spostamento lungo la direzione dell’asse del pendolo. Resta consentita la rotazione dell’asta e la traslazione lungo la direzione perpendicolare all’asse del pendolo. Dal punto di vista delle forze un pendolo è in grado di esercitare solo una reazione vincolare nella direzione dell’asse del pendolo.

Utilizzato come vincolo interno, il pendolo fa in modo che la distanza tra i due punti della struttura collegati resti immutata. Ciò dal punto di vista delle forze significa che il pendolo interno reagisce alle estremità con due forze uguali e contrarie nella direzione del pendolo. Anche per il pendolo si ha s=1.

La cerniera

La cerniera è un vincolo doppio che può essere utilizzato sia come vincolo esterno sia come vincolo interno. Come vincolo esterno viene solitamente schematizzato con un triangolo bloccato a terra sormontato da un cerchietto al quale si connette la trave. Si è anche soliti schematizzarla con un semplice triangolo bloccato a terra senza cerchietto al vertice o anche solamente con un cerchietto collegato a terra. Al di là della modalità di rappresentazione grafica, la cerniera è un vincolo doppio in quanto blocca entrambi le traslazioni lungo gli assi coordinati di riferimento lasciando libera la rotazione del tratto di trave collegata. Dal punto di vista delle forze la cerniera esterna è in grado di esplicare due reazioni vincolari, una reazione vincolare “verticale” V ed una reazione vincolare “orizzontale” H. Ovviamente quanto detto vale se il sistema di riferimento cartesiano presenta gli assi orientati secondo le direzioni orizzontali e verticale, più in generale la cerniera eserciterà due reazioni vincolari lungo le direzioni degli assi coordinati di riferimento.

Come vincolo interno la cerniera impedisce la traslazione relativa tra i due punti delle travi nel quale è realizzato il collegamento; ovviamente ognuno dei due tratti di trave resta libero di ruotare rispetto all’altro tratto. Se una cerniera collega più di due travi i gradi di libertà soppressi saranno pari a (n-1)*2, dove n rappresenta il numero di tratti collegati tramite la cerniera. Nell’esempio riportato a fianco la cerniera interna collega tre travi e pertanto i gradi di libertà soppressi dalla cerniera saranno s=(3-1)*2=4. Lascio al lettore il compito di comprendere la validità della formula.

L’incastro

L’incastro è un vincolo di tipo esterno che è in grado di bloccare entrambe le traslazioni lungo la direzione degli assi coordinati oltre alla rotazione dell’estremo della trave ad esso collegato. Come sua rappresentazione simbolica, adotteremo una linea rappresentante il terreno. Dal punto di vista delle forze l’incastro, dovendo bloccare le traslazioni lungo gli assi coordinati, deve poter esercitare entrambe le reazioni vincolari V ed H, inoltre per poter bloccare anche la rotazione, deve poter esercitare anche una reazione vincolare caratterizzata da una coppia M.

Le Strutture

Una struttura può intendersi come un insieme di una o più travi collegate tra di loro ed al terreno attraverso un sistema di vincoli. Lo schema strutturale che si ottiene, deve in qualche modo rappresentare con sufficiente approssimazione un organismo costruttivo reale del quale si vuole analizzarne il comportamento statico e/o dinamico. Tutte le costruzioni si servono delle strutture; si possono avere strutture nelle quali tutti i gradi di libertà del sistema sono impediti (strutture che non conservano alcuna possibilità di cinematismo), è per esempio il caso delle strutture utilizzate in campo edile (ponti, edifici, etc…), o si possono avere strutture che attraverso le possibilità residue di cinematismo trasmettono energia come alcune strutture utilizzate nel campo della meccanica (alberi motore e macchine in genere). Le strutture vengono suddivise in labili, isostatiche, iperstatiche.

- strutture labili: sono quelle strutture nelle quali non tutti i gradi di libertà del sistema sono soppressi dai vincoli. Queste strutture conservano alcune possibilità di spostamento rigido ( i gradi

di libertà non soppressi dai vincoli) che vengono definiti come gradi di labilità del sistema e solitamente indicati con la lettera l.

- strutture isostatiche: sono quelle strutture nei quali i gradi di libertà soppressi dai vincoli sono esattamente quelli che la struttura in assenza di vincoli presenta. Le strutture isostatiche sono quindi caratterizzate dal non presentare possibilità di movimento (gradi di labilità uguale a zero, l=0).

- strutture iperstatiche: sono quelle strutture nelle quali i gradi di libertà soppressi dai vincoli sono in eccesso rispetto a quelli che il sistema presenta in assenza di vincoli. Più precisamente nelle strutture iperstatiche vi sono uno o più vincoli che sopprimono i medesimi gradi di libertà già soppressi da altri vincoli. I gradi di libertà soppressi in eccesso dai vincoli iperstatici vengono detti gradi di iperstaticità del sistema ed indicati con la lettera i.

Oltre ai tre casi appena definiti, si possono avere anche strutture che sono allo stesso tempo labili ed iperstatiche; queste sono quelle strutture nelle quali seppur ci sono dei vincoli sovrabbondanti permangono gradi di libertà non soppressi da opportuni vincoli. Queste strutture saranno caratterizzate dal presentare sia l≠0 sia i≠0.

Esiste una relazione che è rispettata dalle strutture e che può essere utilizzata al fine di determinare l’appartenenza di una struttura ad un tipo specifico, ed è la seguente:

Tale relazione rappresenta di fatto il bilancio cinematica di una struttura. In virtù di tale formula si possono distinguere i seguenti casi:

• 1° Caso

o Se il primo termine della relazione di bilancio è maggiore di zero, significa che nel secondo al fine di ottenere un risultato positivo si deve avere il grado di labilità della struttura deve essere diverso da zero; la struttura è labile. Si può anche avere il caso in cui nella struttura vi siano vincoli sovrabbondanti, ma poiché il primo membro della relazione di bilancio è maggiore di zero al secondo termine si deve avere che il grado di labilità della struttura è maggiore di quello di iperstaticità; la struttura pur presentando una iperstaticità risulta comunque labile.

• 2° Caso

o Se il primo termine della relazione è uguale a zero, significa che i gradi di libertà soppressi dai vincoli sono in numero pari a quelli posseduti dalla struttura senza vincoli. Tale condizione è necessaria ma non sufficiente per poter affermare che la struttura sia isostatica, infatti si potrebbe presentare il caso in cui nonostante il primo termine della relazione è uguale a zero la struttura presenti un ugual grado di labilità e di iperstaticità. Affinché una struttura sia correttamente identificata di tipo isostatico occorre che il primo membro della relazione sia uguale a zero e che almeno uno dei due termini del secondo membro sia anch’esso uguale a zero. E’ ovvio che per la relazione di bilancio in questo caso se per esempio si individua con chiarezza che la struttura in esame non presenta gradi di labilità ne consegue che la struttura non presenta nemmeno gradi di iperstaticità. Se si dovesse verificare che la struttura presenta comunque un certo grado di labilità per la relazione di bilancio la struttura dovrà presentare anche un identico grado di iperstaticità e cioè la struttura sarebbe contemporaneamente labile ed iperstatica con pari grado.

• 3° Caso

o In questo caso, risultando il primo termine minore di zero ne consegue che al secondo termine deve certamente verificarsi che la struttura presenti un certo grado di iperstaticità. La struttura è iperstatica. Può aversi anche il caso in cui la struttura

           oltre ad essere iperstatica presenti anche un certo grado di labilità, ma ovviamente deve verificarsi che i gradi di iperstaticità sono maggiori in numero dei gradi di labilità, la struttura è in tal caso labile ed iperstatica allo stesso tempo.

Al fine di meglio chiarire i concetti qui espressi in merito alla classificazione delle strutture si analizzano di seguito alcuni semplici esempi di strutture.

I Carichi

In una costruzione edile le strutture portanti assolvono il compito di sostenere i carichi derivanti dagli elementi non strutturali (elementi portati) e quelli dovuti alla funzione a cui la costruzione e dedicata. Un fabbricato residenziale, per poter assolvere a questa funzione deve avere i solai in grado di sopportare oltre al peso proprio ed al peso degli elementi non strutturali portati (intonaco, massetto, pavimento ed eventuali muri divisori non portanti), un carico pari ad almeno 2 KN/m². Tale carico è quello statisticamente determinato e fissato dalle norme per poter adibire un fabbricato a civile abitazione. Altri valori del carico sono fissati per gli ulteriori elementi strutturali di impalcato come le scale e i balconi, ed ancora valori diversi sono fissati per le diverse destinazione d’uso da attribuire ai locali.

Per quanto appena detto, il modello strutturale deve comprendere anche la rappresentazione dei carichi che agiscono sulla struttura, individuandone tipo e posizione (punto di applicazione sulla struttura).

Per quanto attiene ai carichi, entro i limiti del corso per geometri, possiamo distinguere essenzialmente due tipi di carico:

• Carichi concentrati. Sono quei carichi che possono essere assimilati ad una forza o ad una coppia e pertanto rappresentati attraverso un vettore applicato in un punto della struttura.

• Carichi distribuiti. Sono carichi che non possono considerarsi concentrati in un solo punto ma che presentano un valore più o meno variabile del carico e distribuiti su di una superficie o su una lunghezza.

Nell’esempio prima citato dei solai per civile abitazione le norme prescrivono appunto che tali strutture devono essere in grado di sopportare un carico pari a 2KN/m², cioè si deve pensare ad un sistema di carico che può essere rappresentato tramite tanti vettori forza, tutti uguali e pari ognuno a 2 KN, posti uno vicino all’altro in maniera che si occupi tutta la superficie del solaio.

I carichi distribuiti da applicare sulle strutture composte da travi, essendo queste rappresentate solo attraverso la loro lunghezza, devono essere intesi come carichi dovuti ad una serie di forze una vicina all’altra fino ad occupare una certa lunghezza lungo un tratto di trave.

Dal punto di vista pratico possiamo in questa sede considerare 3 tipologie di carico distribuito.

- Carico uniformemente distribuito.

o Un carico uniformemente distribuito è costituito da un insieme di forze tutte uguali poste una di fianco all’altra fino ad occupare una lunghezza L. Il valore che il carico assume è solitamente indicato attraverso la lettera q ed esprime la “quantità” di forza che il carico assume per ogni unità di lunghezza. Esprimendo per esempio le forze in daN e le lunghezze in metro il valore di q sarà espresso in daN/m. La risultante di un carico uniformemente distribuito è pari al prodotto del valore del carico q per la lunghezza della striscia di carico L, e si indica solitamente con la lettera Q. Il punto di applicazione della risultante Q del carico è posto nel baricentro del rettangolo e ciòè ad ½ L.

- Carico distribuito di forma triangolare.

o Questo tipo di carico distribuito è caratterizzato dall’avere un diagramma rappresentativo triangolare. La risultante del carico Q è pari all’area del triangolo e cioè Q=q*L/2; è applicata nel baricentro del triangolo e quindi ad 1/3 di L dal lato dove il carico è pari a q e a 2/3 di L dall’estremo del carico dove q=0.

- Carico distribuito di forma trapezoidale.

           o Questo tipo di carico è rappresentato da un diagramma a forma di trapezio e che presenta quindi due valori di q alle estremità del carico, un valore massimo che qui indichiamo con q₁ ed un valore minimo qui indicato con q₂. La risultante Q è pari all’area del trapezio e quindi Q=(q₁+q₂)*L/2 ed è applicata nel baricentro del trapezio.

La distanza di Q dal lato di q₁ è pari a

La distanza di Q dal lato di q₂ è pari a

E’ utile a questo considerare che un carico trapezoidale può essere scomposto in due carichi: uno uniformemente distribuito e pari a q2 e l’altro come un carico distribuito a forma triangolare con valore (q1-q2). I due carichi così ottenuti si considerano presenti contemporaneamente sulla struttura.

Ricerca delle Reazioni Vincolari per le strutture isostatiche

Come già si è affermato in precedenza, una struttura è composta da uno o più tratti di trave, da uno o più vincoli e da uno o più carichi. Assegnata quindi una struttura il primo problema che ci si pone è quello di determinare le condizioni statiche dell’equilibrio esterno. Risolvere tale problema in effetti significa determinare le reazioni che i vincoli esercitano sulla struttura per ottenere le condizioni di equilibrio della stessa sotto un determinata situazione di carico. Ci concentreremo in questa sulle sole strutture isostatiche per le quali la ricerca delle reazioni vincolari si persegue attraverso delle semplici equazioni di equilibrio statico. Per tale motivo le strutture isostatiche sono dette anche staticamente determinate. Si affronteranno dapprima la ricerca delle reazioni vincolari su

strutture costituite da un unico tratto di trave per poi passare ad affrontare il problema su strutture sempre isostatiche ma costituite da più tratti di trave.

La soluzione del problema della ricerca delle reazioni vincolari viene perseguito attraverso un sistema di equazioni che costituiscono le cosiddette equazioni cardinali della statica. Le equazioni cardinali della statica sono in numero di tre e costituiscono ognuna una condizione di equilibrio del corpo rigido (struttura) in relazione ai singoli gradi di libertà (traslazione lungo X, traslazione lungo Y, rotazione intorno ad un punto qualunque del piano XY).

L’espressione formale delle equazioni cardinali della statica è la seguente:

dove la prima equazione dovrà esprimere l’equilibrio tra tutte le componenti lungo la direzione X di tutte forze e le reazioni vincolari che sollecitano il sistema, la seconda equazione dovrà esprimere l’equilibrio tra tutte le componenti lungo la direzione Y di tutte forze e le reazioni vincolari che sollecitano il sistema, mentre la terza rappresenta l’equilibrio alla rotazione ( Momento uguale a zero) di tutte le forze e le reazioni vincolari che sollecitano il sistema.

Si passa direttamente ad applicare il metodo su diversi esempi di strutture così da fornire utile chiarimento applicativo ed un facile guida all’applicazione delle equazioni cardinali della statica nei casi più frequenti.

Un semplice esempio di struttura

La struttura che si propone è una trave semplice caricata da una forza concentrata F

Per trave semplice si intende una trave vincolata ad un estremo con una cerniera e all’altro estremo con un carrello. La struttura è isostatica e quindi staticamente determinata.

Come primo esempio viene considerata una trave semplice caricata da una sola forza F.

La prima operazione da farsi è la scomposizione delle forze che sollecitano la trave secondo due direzione che solitamente sono la direzione orizzontale e la direzione verticale. Nel nostro caso abbiamo solo la forza F che scomposta ci fornirà le due componenti Fx e Fy, la prima parallela all’ipotetico asse X orizzontale e la seconda parallela all’ipotetico asse Y orizzontale. Supposto che la forza F formi un angolo α con l’orizzontale si ha:

Fx=F*cos α ; Fy=F*sen α .

Ricordando che solitamente assumiamo positive le forze quando sono dirette secondo la direzione degli assi del sistema di riferimento che si riporta a fianco, che i momenti sono assunti positivi se orari, procediamo all’inserimento delle reazioni vincolari disponendole sulla struttura secondo i versi positivi. Nel nostro caso avremo che nel punto A la cerniera può esercitare la reazione H_A e la reazione V_A, mentre nel punto B il carrello può esercitare la sola reazione R_B.

A questo punto possiamo scrivere le equazioni cardinali della statica per la struttura in esame:

La prima equazione rappresenta l’equilibrio alla traslazione orizzontale, la seconda l’equilibrio alla traslazione verticale, la terza l’equilibrio alla rotazione calcolando i Momenti rispetto al punto A. Si noti che i segni nelle relazioni sono attribuiti seguendo il sistema di riferimento, quindi nelle prime

due equazioni le forze sono positive se il loro verso è coerente con gli assi di riferimento mentre nella terza equazione il momento delle singole forze è positivo se orario. Per la scrittura della terza equazione si è preferito calcolare i momenti intorno al punto A per non far comparire nella equazione le reazioni VA e HA (queste presentano distanza nulla rispetto al punto A) ottenendo quindi una equazione con una sola incognita.

Analizzando il sistema di equazioni ottenuto notiamo che le incognite sono in numero di tre e sono H_A, V_A e R_B e il numero di equazioni è appunto pari al numero di incognite. Il sistema ammette soluzione e la soluzione rappresenta appunto i valori da attribuire alle reazioni vincolari affinché la struttura risulti equilibrata.

Risolvendo il sistema si ha:

Il segno negativo ottenuto nella soluzione della prima equazione per H_A significa che per avere l’equilibrio della struttura la reazione HA deve avere il verso opposto a quello che noi abbiamo ipotizzato, quindi la reazione HA che fornisce l’equilibrio della struttura deve essere diretta verso sinistra. Nella sostanza noi ipotizziamo un verso nell’impostazione del problema e poi verifichiamo la correttezza dell’ipotesi attraverso il segno algebrico dei risultati; se il risultato di una reazione vincolare sarà positivo vuol dire che il verso ipotizzato è esatto se è negativo il verso ipotizzato è errato.

Si riporta di seguito la soluzione del problema affrontato rappresentando di nuovo la struttura e i giusti versi delle reazioni calcolate.

Si noti che nella rappresentazione della soluzione per l’equilibrio esterno i vettori che schematizzano le reazioni vincolari sono disegnati con il verso coerente con le soluzioni trovate, i valori delle reazioni (moduli dei vettori) sono riportati in valore e senza segno algebrico.

La presenza dei carichi distribuiti

E’ assegnata la trave semplice rappresentata nella figura a fianco. Dalla stessa figura si ricavano le distanze e i valori dei carichi. Si supponga che la forza F formi con l’asse della trave un angolo pari a 30°. Si ha: y 2000 30 000 30 3464 30 4000 30 = ⋅ 4 = ⋅ = = ⋅ = ⋅ I versi sono quelli riportati in figura.

La risultante del carico sarà applicata nel baricentro dell’area di carico e quindi a 1,70 m Tenendo conto della convenzione sui segni delle forze e dei momenti per la quale i = ⋅ − ⋅ + ⋅ = + − − 0 30 6 50 4 70 1 0 B y B y A x A R , F , Q , R F Q V Sostituendo ai simboli i valori delle forze esterne e risolvendo il sistema di equazioni si

dall’Appoggio in A; il valore della risultante del carico distribuito è pari a : daN,LqQ68004032000=⋅=⋅=

versi positivi sono quelli riportati nella figura a fianco, si passa a scrivere le equazioni cardinali della statica per la ricerca delle reazioni vincolari nella struttura data. ⎧=−0FH La terza equazione è stata scritta effettuando l’equilibrio alla

determinano il valore ed il verso delle reazioni vincolari. ⎧=−HA03464 = ⋅ − ⋅ + ⋅ = + − − daN R daN V daN H , , , R R VH , , R , R VH R , , , R VB AA B B AA B B AA B B A 3263 5537 3263 2000 6800 3464 3263 30 6 2000 50 4 6800 70 1 2000 6800 3464 2000 50 4 6800 70 1 30 6 2000 6800 3464 0 30 6 2000 50 4 6800 70 1 0 2000 6800 Tutti i risultati ottenuti per le reazioni vincolari sono di segno positivo, quindi i versi delle reazioni Trave semplice orizzontale con carrello inclinato i consideri la struttura

sono proprio quelli ipotizzati nella scrittura iniziale delle equazioni cardinali della statica e pertanto il disegno con la rappresentazione dei versi delle forze in gioco utilizzato nell’impostazione dell’esercizio rimane valido in base ai risultati ottenuti.

S

rappresentata a fianco. E’ una trave semplicemente appoggiata con il carrelloinclinato di un angolo di 30° rispetto alla verticale nel punto B. Ipotizzati i versi (positivi) per le reazioni vincolari H_A, V_A e R_B, per poter procedere alla scrittura delle equazioni cardinali della statica si deve prima scomporre la reazione vincolare R_B secondo le due direzioni x e y (orizzontaleSi ha: HA A V Bx R B R R By R B RBy BRBx 30° 5,70 A 1,50 4,20 q=2500 daN/m

rotazione intorno al punto A della struttura; si è determinato cioè la somma dei momenti di tutte le forze agenti sulla trave rispetto ad A e siè posto uguale a zero il risultato

=RRx 30 30 cos R R sen y Tenendo conto della convenzione sui segni e esprimendo l’equilibrio alla rotazione con i momenti = ⋅ − ⋅ ⋅ = + ⋅ − 0 70 5 20 4 10 2 0 20 4 By By A Bx A R , q , , R q , V Sostituendo alle componenti RBx e RBy le espressioni in funzione di RB ed alle forze esterne i

delle forze rispetto ad A si scrivono le seguenti condizioni di equilibrio. ⎧=−0RH Note: Apparentemente il sistema di equazioni scritto presenta quattro incognite

relativi valori si risolve il sistema di equazioni. ⎧=°⋅−senRHBA030 = ° ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ° ⋅ + ⋅ − daN R daN cos , V daN sen H cos , , , R , cos R V sen R H , , cos R , , cos R V sen R H cos R , , , cos R , V B AA B B A B A B B A B A B B A 4467 6631 30 4467 2500 20 4 1900 30 3800 4467 30 70 5 2500 20 4 10 2 2500 20 4 30 30 2500 20 4 10 2 30 70 5 2500 20 4 30 30 0 30 70 5 2500 20 4 10 2 0 30 2500 20 4 La Mensola a struttura rappresentata a fianco è solitamente y 964 40 1500 40 1149 40 = ° ⋅ = ° ⋅ = = ° ⋅ Si passa quindi a scrivere le equazioni cardinali della statica dove, nella scrittura della terza Note: isultati sono positivi e pertanto i per

L

conosciuta come mensola. In particolare la mensola proposta risulta caricata da una forza F in punta inclinata rispetto all’orizzontale di un angolo di 40° e da un carico uniformemente distribuito pari a 1000 daN/m che si estende dalla sezione all’incastro fino a 2,00 m da esso. La struttura è isostatica, staticamente determinata e le reazioni vincolari incognite sono H_A, V_A e M_A. Per prima cosa si scompone la forza F nelle

direzioni orizzontali e verticali ottenendo le seguenti componenti: cosFFx150040=°⋅=

equazione, si sono valutati i momenti intorno ad A, punto nel quale è posto l’incastro.

e tre equazioni, ma in effetti le incognite sono solo tre, infatti al posto delle componenti R_Bx e R_By vanno sostituite le espressioni ricavate prima in funzioni della sola R_B che rappresenta l’effettiva terza incognita del problema.

Tutti i r

versi ipotizzati sono quelli giusti. La rappresentazione grafica dei risultatile reazioni vincolari è la stessa utilizzata per l’impostazione delle equazioni cardinali della statica.

Si è tenuto conto della presenza della coppia M_A, del momento dovuto al carico distribuito la cui risultante è pari a 2 x q ed è posta alla distanza di 1 m dall’incastro in A, oltre alla componente verticale della forza F_y che dista 3 m da A.

Risolvendo il sistema di equazioni ottenuto si ricavano i valori ed i versi delle reazioni vincolari.

Dai risultati ottenuti si evince che mentre i versi ipotizzati per le reazioni vincolari H_A e V_A sono esatti, il verso relativo alla reazione vincolare M_A è contrario a quello ipotizzato. Le schema strutturale completo dei risultatati relativi alle reazioni vincolari risulta quindi il seguente.

Trave semplice caricata da una coppia concentrata

Si consideri la trave semplice riportata a lato; la trave è caricata da una coppia concentrata M applicata nel punto C. Si ipotizzano i versi positivi delle reazioni vincolari e si passa a scrivere le equazioni cardinali della statica. ella coppia M e del momento di RB

I momenti per la scrittura della terza equazione sono stati calcolati rispetto al punto A, e nella scrittura dell’equazione si è tenuto conto della presenza drispetto ad A.

Risolvendo il sistema si ricavano le reazioni vincolari cercate.

Nota:

Nella scrittura della terza equazione si sono calcolati i momenti delle forze intorno al punto A, tenendo presente che nello stesso punto è applicata la coppia concentrata M_Areazione vincolare dell’incastro.

- Dai risultati ottenuti si ricava che le reazioni vuguale ed opposta alla coppia esterna M applicata sulla trave. E’ utile notare che i risultati delle reazioni vincolari sono indipendenti dalla posizione nella quale è applicata la coppia esterna M e dipendono esclusivamente dal verso ed entità della coppia esterna applicata e dalla distanza tra gli appoggi A e B. Si riporta accanto incolari VA e RB costituiscono insieme una coppia lo schema risolto con i Mensola soggetta a un carico distribuito di forma triangolare ’ assegnata la mensola riportata nel disegno a fianco. di forma ostituendo i valori e risolvendo il sistema si i riporta a lato lo schema strutturale con la rappresentazione dei risultati ottenuti

giusti versi delle reazioni vincolari.

E

Le azioni esterne sono costituite da un carico distribuito= ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ −= 0 1 3 21 0 3 210 q q VH A AA M ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎪ ⎪ ⎪ ⎨⎧ − = ⋅ ⋅ ⋅ − = = ⋅ ⋅ + == ⇒ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎪ ⎪ ⎪ ⎨⎧ = ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ −= ⇒ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎪ ⎪ ⎪ ⎨⎧ = ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ −= daNm daN VH VH q q VH A AA A AA A AA 1500 1 3 1000 21 1500 3 1000 21 0 0 1 3 1000 21 0 3 1000 210 0 1 3 21 0 3 210 M M M

triangolare con valore iniziale di q pari 1000 daN/m; il carico si estende su tutta la trave. Si ipotizzano i versi positivi per le reazioni vincolari e si passa a scrivere le equazioni cardinali della statica ricordando che la risultante di un carico distribuito a forma triangolare è pari all’area del diagramma di carico (1/2 q x L) ed è applicata ad una distanza pari a 1/3 di L dal lato dove il carico è diverso da zero. ⎧A H A VA 3,00 q=1000 daN/m

S

ottengono i valori e i versi delle reazioni vincol

S

Trave semplice inclinata soggetta ad un carico uniforme verticale

Si vuole analizzare la struttura qui rappresentata e verificare che la scelta del sistema di riferimento non influisce sulla soluzione del problema dell’equilibrio esterno.

Si consideri dapprima il consueto sistema di riferimento avente gli assi X ed Y rispettivamente orizzontale e verticale. Il carico si sviluppa lungo la direzione della trave ed è diretto secondo l’asse Y e pertanto non necessita di essere scomposto mentre per il carrello si dovrà provvedere a considerare le componenti orizzontale e verticale della Reazione R_B. Si consideri l’asse del carrello perpendicolare all’asse della trave e quindi formante un angolo di 30° rispetto alla direzione verticale. Le componenti di R_B sono: ° ⋅ = ° ⋅ = 30 30 sen R R cos R R B BX B BY

Le condizioni di equilibrio forniscono il seguente sistema di equazioni:

Sostituendo le espressioni di RBY ed RBX nel sistema e risolvendolo con il metodo di sostituzione si ottengono i seguenti risultati:

Proviamo ora a risolvere lo stesso esercizio con un sistema di riferimento che abbia l’asse X coincidente con l’asse della trave e l’asse Y perpendicolare alla trave stessa. Con tale sistema di riferimento non sarà necessario scomporre la reazione vincolare del carrello che risulterà parallela all’asse Y ma sarà necessario scomporre il carico distribuito q nelle direzioni dell’asse ottenendo un carico distribuito q_y che si sviluppa lungo l’asse della trave ed ha direzione perpendicolare alla trave stessa, mentre la componente del carico q_x si svilupperà lungo l’asse della trave ed avrà direzione parallela e coincidente con la trave stessa. Per procedere alla scomposizione del carico distribuito si opera in maniera identica a quanto si fa con le forze concentrate, basta pensare che un carico distribuito altro non è che una serie di forze tutte uguali poste una dietro l’altra e che presentano per ogni metro di carico una risultante pari a q. Le componenti q_x e q_y vengono calcolate nel seguente modo:

Nota: Nella Scrittura della 3° equazione si è considerato ai fini del momento direttamente l’incognita RB. Se avessimo considerato i momenti delle componenti RBX e RBY avremmo ottenuto il medesimo risultato del momento di RB ma con qualche passaggio in più:

Le equazioni cardinali della statica con questo sistema di riferimento ci forniscono il seguente sistema:

Sostituendo i valori di q_x e q_y ricavati prima si ottengono le seguenti soluzioni:

Come si può vedere il risultato di RB è praticamente identico, a meno degli arrotondamenti effettuati nei calcoli, a quello ottenuto con il sistema di riferimento precedente. Per confrontare i risultati di H_A e di V_A si deve tenere presente la diversa inclinazione di queste reazioni vincolari rispetto allo schema precedente e quindi per ricavare il valore di H_A ottenuto nello schema precedente si devono considerare le componenti orizzontali sia di H_A sia di V_A calcolati in questo schema.

La componente orizzontale della Reazione vincolare totale in A risulta pertanto pari a:

praticamente identica ad H_A calcolata nello schema precedente.

La componente verticale della Reazione vincolare totale in A è invece paria a:

praticamente identica alla V_A calcolata nello schema precedente.

Le Travi Gerber

Le travi gerber sono travi continue isostatiche costituite da più tratti di trave collegati tra di loro mediante delle cerniere interne. Per queste travi le sole equazioni cardinali della statica non sono sufficienti per la soluzione del problema e pertanto a queste vanno aggiunte equazioni che esprimano l’equilibrio delle cerniere interne. Tali equazioni da aggiungere sono in numero pari al numero di cerniere interne presenti nella trave e prendono il nome di equazioni ausiliarie. Considerando la struttura riportata in figura si può facilmente ricavare che la struttura è isostatica, e che le reazioni vincolari incognite sono in numero

di 4. Le equazioni cardinali della statica sono in numero di 3 e quindi insufficienti per la soluzione del sistema di equazioni. La quarta equazione necessaria alla soluzione del problema è appunto l’equazione ausiliaria che si esplicita attraverso la seguente considerazione. La cerniera interna consentirebbe la rotazione relativa tra i due tratti di trave collegati, ma essendo la struttura isostatica tale rotazione non avviene. Affinché la rotazione relativa tra i due tratti, seppur consentita dalla cerniera interna, non avviene significa che se per ipotesi considerassimo il tratto di sinistra fisso, il momento delle forze che seguono a destra della cerniera valutato rispetto alla cerniera stessa deve essere nullo. L’equazione di equilibrio che esprime il concetto appena descritto è proprio l’equazione ausiliaria che consente la soluzione del sistema di equazioni di equilibrio. Con analogo ragionamento si può ricavare che anche il momento di tutte le forze che precedono la cerniera, valutato rispetto alla cerniera interna, deve essere nullo. La scelta se scrivere l’equazione ausiliaria considerando le forze che seguono o viceversa le forze che precedono è del tutto arbitraria.

Tornado alla trave rappresentata passiamo a scrivere le equazioni cardinali della statica e l’equazione ausiliaria considerando che la forza F forma con l’asse della trave un angolo di 45°.

Per la scrittura dell’equazione ausiliaria si è preferito considerare il momento delle forze a destra della cerniera così che nell’equazione compaia solo l’incognita RC, semplificando quindi la soluzione del problema. In alternativa se avessimo scritto l’equazione ausiliaria considerando il momento di tutte le forze che precedono la cerniera, sarebbero comparse nell’equazione le le reazioni vincolari incognite V_A e R_B.

Considerando che: , e risolvendo il sistema si ottengono i seguenti risultati:

Trave Gerber con due cerniere interne

Si consideri la trave rappresentata in figura. Trattasi di una trave Gerber costituita da tre tratti di trave collegati tra di loro da due cerniere interne. Il bilancio dei gradi di libertà ci fornisce i seguenti valori: strut è is

La struttura non presenta labilità, infatti

analizzando il comportamento cinematica della struttura partendo dal tratto sinistro si ha che la presenza dell’incastro determina che il punto D dove è posta la prima cerniera interna è fisso; il secondo tratto, essendo la cerniera in D fissa potrebbe solo ruotare intorno a D ma tale rotazione è impedita dal carrello in B e pertanto anche il punto E dove è posta la seconda cerniera interna è fisso; l’ultimo tratto, ragionando in maniera analoga, potrebbe ruotare intorno ad E ma tale rotazione è impedita dal carrello in C. In conclusione può affermarsi che oltre ad essere 03=−st, è anche =le , quindi la turaostatica.

Si passa a scrivere le equazioni di equilibrio esterno per la soluzione della struttura.

Le ultime due equazioni sono le equazioni ausiliarie che esprimono le condizioni di equilibrio della cerniera in D e nella cerniera in E. Entrambe le equazioni impongono che il momento di tutte le forze che seguono la cerniera in esame, calcolato rispetto alla cerniera stessa è nullo.

Sostituendo il valore dei carichi e risolvendo il sistema si perviene alle reazioni vincolari che determinano l’equilibrio esterno della struttura.

Nella figura sotto è rappresentata la struttura analizzata con i risultati ottenuti per le reazioni vincolari.

I Portali

I portali sono strutture costituite da due piedritti (colonne) sormontate da un architrave. A seconda delle diverse configurazioni possibili i portali possono essere isostatici o iperstatici. Nella figura a lato è rappresentato un portale costituito da due tratti vincolati esternamente con due cerniere ed internamente con una terza cerniera. La struttura rientra nella tipologia dei cosidetti archi a tre cerniere; essi sono strutture isostatiche a patto che le tre cerniere non siano allineate. La soluzione della struttura porposta viene condotta in analogia con le modalità di soluzione delle travi Gerber scrivendo le equazioni cardinali della statica ed integrandole con l’equazione ausiliaria di equilibrio della cerniera interna. Nel nostro caso scriveremo l’equazione ausiliaria valutando il momento rispetto a C di tutte le forze che seguono la cerniera interna. 500 daN/m

Sotto si riporta la figura rappresentante le reazioni vincolari con i versi coerenti con i risultati ottenuti.

Le strutture reticolari

Le strutture reticolari sono tipiche strutture isostatiche composte da diversi tratti collegati tra loro da cerniere in modo da formare un certo numero di maglie triangolari. Esternamente sono solitamente vincolate attraverso una cerniera ed un carrello alla stregua di una semplice trave appoggiata. Esaminando una singola maglia triangolare si può osservare come tra i tre tratti che costituiscono la maglia non sono possibili spostamenti o rotazioni relative, pertanto la maglia si comporta come se fosse un singolo corpo rigido avente quindi tre gradi di libertà esterni. L’assemblaggio di un certo numero di maglie triangolari comporta che l’intera struttura, può assumersi ai fini dell’equilibrio esterno come un singolo corpo rigido (come una trave semplice costituita da un unico tratto) e pertanto i tre gradi di libertà esterni dell’intera struttura possono essere soppressi da una cerniera ed un carrello. Per la ricerca delle reazioni vincolari è sufficiente la scrittura delle tre equazioni cardinali della statica.

Le strutture reticolari sono solitamente soggette a carichi costituiti da forze concentrate applicate nei nodi strutturali.

E’ possibile costruire diverse tipologie di travature reticolari ed alcune di queste con particolari configurazioni si prestano a particolari utilizzi ed assumono nomi specifici.

Vengono qui proposte in rassegna alcuni degli schemi di travature reticolari più usuali con le possibili configurazioni di carico, resta a cura del lettore esercitarsi nel riconoscere l’isostaticità della struttura proposta e la formulazione di esercizi numerici per la ricerca delle reazioni vincolari.