Sistema bilanciato  -  Trasformata di Laplace  -  Grafici di Bode

Lo schema che segue è quello di un sistema bilanciato (molto semplificato). Questo sistema è detto “bilanciato” poichè annulla le interferenze elettromagnetiche che possono fra variare i valori di uscita di G_(s).

Il sistema ha una funzione d’ingresso o input [E_(s)], una funzione di uscita o output [U_(s)], e una funzione di trasferimento che è rappresentata dai componenti (2), (3) 949e42j e (5), che sono, rispettivamente:

1.   Nodo sommatore algebrico

2.   Sistema vero e proprio

3.   Controllore

Il sistema quì rappresentato è un sistema deterministico (cioè che ad un determinato ingresso produce un’uscita sempre uguale, indipendentemente da tempo e luogo).

Schema 1

La funzione di trasferimento viene calcola come il rapporto tra la funzione in uscita U_(s) e quella d’ingresso E_(s).

Ipotizzando il sistema eliminando la parte del controllore (quindi togliendo i punti (2) e (5)  dallo schema 1) è possibile identificare la FDT (funzione di trasferimento) come G_(s).

Poichè il sistema preso in esame è un sistema bilanciato, la FDT va ricavata dal seguente sistema di tre equazioni:

F_(s) = H_(s) ^. U_(s)

D_(s) = E_(s) - F_(s)

U_(s) = G_(s) ^. D_(s)

Da cui

FDT = U_(s) / E_(s)  =  [G_(s) ^. D_(s)] / [D_(s)+ F_(s)]  Þ 

FDT = [G_(s) ^. D_(s)] / [D_(s)+ (H_(s) ^. U_(s))] Þ

FDT = [G_(s) ^. D_(s)] / [D_(s)+ (H_(s) ^. G_(s) ^. D_(s))] Þ

FDT = [G_(s) ^. D_(s)] / [D_(s) ^. (1 + H_(s) ^. G_(s))]

Þ        FDT = G_(s) / [1+ H_(s) ^. G_(s)]

Questa è la funzione di trasferimento FDT generica in questo tipo di sistema.

È possibile notare che a fianco di ogni funzione sono presenti due parentesi che racchiudono una “S”. La “S” sta ad indicare che tutte le funzioni sono state trasformate dal dominio del tempo a quello complesso tramite la trasformata di Laplace. Così facendo, è possibile  trasformare un’equazione integro-differenziale in somme e differenze.

S = s + iw (in ambito pratico, solitamente s è molto piccolo, quindi trascurabile).

Per poter rappresentare graficamente un numero nel tempo, si posiziona il valore del tempo sull’asse delle ascisse e il valore del numero sull’asse delle ordinate; mentre, per rappresentare un numero complesso, sulle ascisse si posizionano i valore della parte reale, e sulle ordinate il valore della parte immaginaria, cioè come segue:

                                  

Grafico 1

Dal grafico si evince che:

Il modulo del numero nel dominio “S” (calcolato con teorema di Pitagora), vale:

            |c| =     R² + I²

Invece la fase, cioè l’angolo con cui varia quel numero vale:

               

j = arctan (I / R)

Rappresentando graficamente una funzione nel dominio complesso, questa possiede quindi un modulo e una fase determinati dalle formule precedenti.

Il problema che nasce nella rappresentazione di funzione con questi criteri, è quello dell’enorme quantità di dati da rappresentare. Per risolvere questo problema si cerca di “comprimere” il grafico utilizzando le funzioni logaritmiche e “l’amplificazione Decibel”.

L’amplificazione Decibel consiste in questo:

            A|dB = 20log A

Con A si intende una parte della funzione di una generica funzione di trasferimento. Se, per esempio, si ha una funzione di trasferimento

FdT = G_(s) =  (1 + St) / S(1+ST), applicando le proprietà dei logaritmi e dell’amplificazione decibel, si ottiene

20 log [(1 + S)] / S(1+ST)]  Þ

Utilizzando poi le proprietà dei logaritmi, secondo cui il logaritmo di un quoziente è uguale alla differenza del logaritmo del dividendo e il logaritmo del divisore, la formula sopra scritta diventa allora

             G_(s) =  20 log |1 + S| - 20 log [S(1+ST)]

Sempre utilizzando le proprietà dei logaritmi, secondo cui il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori, si semplifica ancora la funzione, quindi

            G_(s) =  20 log |1 + S| - 20 log |S| + 20 log |1+ST|

                                               A                             B                               C

Quì si possono identificare 20 log |1 + S| come A, e gli altri due come B e C. La funzione deve essere in modulo poichè il campo di esistenza della funzione logaritmo è per x>0.

Quindi, A|dB = 20 log |1 + S|. Questa è la funzione che verrà visualizzata graficamente sui grafici di Bode.

I grafici di Bode sono grafici semi-logaritmici, sono di due tipi: modulo e fase.

Modulo

Ricordando che  |c|=   R² + I²        allora A|dB = 20 log    1 + T²    (con  T = wt).

Risolvendo si ha che

               

            A|dB = 10 log  |1 + wt |

Secondo questa formula, la funzione sarà poi rappresentata sul grafico dei moduli.

Il valore 10 è una costante, indica la pendenza della retta; il valore  è sempre una costante, ma il suo reciproco indica il punto di partenza di quella retta. È possibile rappresentare la funzione nel seguente modo:

           

Grafico 2

La retta ottenuta ha pendenza +10 dB / Dec, e taglia l’asse x nel punto 0,1.

Con lo stesso criterio vengono rappresentate tutte le rette che compongono la funzione, e ricordando che quando sono a denominatore la pendenza è negativa e la retta risultante è la somma algebrica delle pendenze, come nel grafico che segue:

Grafico 3

Fase

Prendendo una funzione qualsiasi:

G _(wt)  =  (1 + iwt)] / [(iw)(1+wt)]

·      Il numeratore della funzione è espresso come j = arctan (wt /1 )

·      La prima parte del denominatore è: j= - arctan (iw/1 )

·      La seconda parte del denominatore è: j= - arctan (wt /1 )

Poichè w è legato alla frequenza (w=2pf), è possibile trovare l’intervallo di valori che la funzione può assumere, dando poi alla frequenza tutti i valori da 0 a ¥:

·      Se f  =  0, arctan (wt /1)  =  0

·      Se f  =  ¥, arctan (wt /1)  =  90°

La fase oscilla quindi tra 0 e 90°.

Nella realtà le rette rappresentate nel seguente grafico sono delle curve che hanno un certo margine di errore.

           

Grafico 4