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TEOREMA DI PITAGORA
T. In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa
è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
Sia ABC il triangolo. Costruiamo sull’ipotenusa il
quadrato BCDE, sul 818c29i cateto AB il quadrato che indicheremo con Q1 e sul cateto AC il quadrato
contrassegnato con Q2. Vogliamo
dimostrare che il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma
dei quadrati Q1, Q2 costruiti sui
cateti. Condotta per A la perpendicolare a BC, si viene a scomporre il quadrato
BCDE nei due rettangoli BLME, LCDM che indicheremo rispettivamente con R1, R2.
Per il primo teorema di Euclide abbiamo: R1=Q1;
R2=Q2.
Da ciò segue per il terzo postulato sull’equivalenza
che R1 + R2=Q1 + Q2.
Dunque, il quadrato costruito sull’ipotenusa è
equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
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PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE
T. In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito su un
cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l’ipotenusa e la
proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa.
Dato il triangolo ABC si costruiscano, come mostra
la figura, il quadrato ABDE=Q ed il
rettangolo BFGH=R, avente per
dimensione la proiezione BF del cateto BA sull’ipotenusa ed il segmento BH
uguale all’ipotenusa BC. Vogliamo dimostrare che Q = R. Le rette BH ed AF intersecano la retta DE rispettivamente
nei punti I e K. Il quadrilatero IKAB = P
è un parallelogramma perché i suoi lati opposti sono paralleli per costruzione.
I triangoli rettangoli ABC, DBI sono uguali in quanto hanno: AB=DB come lati del quadrato
Q, ABC=DBI perché complementari
dello stesso angolo IBA. Segue da ciò che sono uguali le loro ipotenuse BC,BI.
D’altra parte è BC=BH per costruzione. Per cui si conclude che è BI=BH. Il
rettangolo R ed il parallelogramma P, oltre ad avere uguale altezza BF
(perché compresi fra le parallele HI, GK), hanno dunque uguali anche le basi
BI, BH; per cui essi sono equivalenti. Analogamente sono equivalenti il
parallelogramma P ed il quadrato Q che hanno la stessa base AB ed uguali
altezze (perché entrambi compresi nella striscia di lati BA, DK). Pertanto,
avendosi R=P e P=Q, si conclude che R=Q.
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SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE
T. In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza
relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le
proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
Dato il triangolo ABC, si costruiscano sull’altezza
AD relativa all’ipotenusa, sulla proiezione BD del cateto BA e sul cateto BA,
rispettivamente i quadrati: ADGH=Q1;
DBIK=Q2 ; Baml=Q3.
Si costruisca poi il rettangolo IFEK=R avente le dimensioni IF, IK
rispettivamente uguali alle proiezioni DC, BD dei cateti sull’ipotenusa e si
osservi che il rettangolo BFED=Q2 + R
ha l’altezza BF uguale all’ipotenusa BC. Vogliamo dimostrare che Q1 = R. Per il primo teorema di Euclide
e per il teorema di Pitagora apllicati rispettivamente ai triangoli rettangoli
ABC, ADB, abbiamo:
Q3=Q2 +
R; Q3=Q1 + Q2.
Ne segue, per la proprietà transitiva dell’equivalenza
che Q1 + Q2 = Q2 + R. Sottraendo Q2 da ambo i membri otteniamo Q1=R.
