TEOREMA DI ROUCHè-CAPELLI

Può capitare nella pratica di dover risolvere sistemi lineari in cui il numero m delle equazioni non sia uguale al numero n delle incognite. Prendiamo, ad esempio, il seguente sistema:

in cui il numero m delle equazioni è uguale a 2 e il numero n delle incognite è uguale a 3.

Ci si propone di trovare delle condizioni che ci dicano se e quando un sistema di questo tipo sia possibile (ossia ammetta soluzioni che possono esser 828d35i e una sola o infinite).

Consideriamo a tal proposito la matrice A dei coefficienti del sistema e la matrice completa C del sistema ottenuta da A aggiungendo la colonna dei termini noti:

                    

Ebbene, dato che la matrice A è una sottomatrice della matrice C, il rango di A sarà sicuramente minore o uguale di quello di C; non potrebbe mai essere maggiore.

Si dimostra, a questo punto che vale il seguente Teorema di Rouchè-Capelli:

Un sistema di equazioni lineari ammette soluzione se e soltanto se la matrice completa C ha lo stesso rango della matrice A dei coefficienti del sistema.

Questo teorema, dunque, ci garantisce che:

·              Se A e C hanno lo stesso rango, il sistema è possibile;

·              Se A e C hanno rango diverso, il sistema è impossibile.

Tuttavia, il teorema enunciato, consente solo di stabilire se il sistema è o no compatibile, ma non ci fornisce la regola pratica per trovare tutte le soluzioni di un sistema.

Vediamo quindi di ricostruirla:

Premesso che il sistema da risolvere sia compatibile (ossia ammetta soluzione, in virtù del teorema appena enunciato) e indicando con k il rango della matrice dei coefficienti A dovremo:

·              Considerare solo k delle m equazioni del sistema, trascurando le altre. La scelta non è arbitraria ma deve essere fatta in modo che il rango della matrice dei coefficienti delle equazioni prescelte valga proprio k. Si considererà quindi un nuovo sistema di sole k equazioni in n incognite.

·              In questo nuovo sistema si considereranno solo k delle n incognite, tali che il determinante dei loro coefficienti sia diverso da zero. Le incognite non considerate diventano parametri (cioè ad esse si attribuiranno valori arbitrari).

·              Si è quindi ottenuto un sistema di k equazioni in k incognite (con n-k parametri) risolvibile con il teorema di Kramer.

·              I valori trovati costituiscono costituiscono la soluzione del sistema.

Dal procedimento illustrato segue che:

·              Se k<n, ossia il rango della matrice dei coefficienti è minore del numero delle incognite, il sistema, si dice, ammette ∞^n-k soluzioni (ad n-k incognite attribuiremo valori arbitrari, ossia sono parametri).

·              Se k=n, ossia il rango della matrice dei coefficienti è uguale al numero delle incognite, il sistema ammette una sola soluzione.

La regola precedentemente enunciata è valida, in generale, per la risoluzione di qualunque sistema di equazioni lineari.

Ma torniamo adesso al nostro sistema:

Come è facile verificare, tanto il rango di A che quello di C sono uguali a 2.

Ci troviamo quindi nel caso in cui il rango di A è uguale a quello di C, per cui in virtù del Teorema di Rouchè-Capelli, il sistema ammette soluzioni, e precisamente (essendo k=2 ed n=3) ∞^3-2, cioè ∞¹ soluzioni (ad 1 incognita attribuiremo valori arbitrari, ossia è un parametro).

Per determinare queste soluzioni, dato che il determinante formato dai coefficienti delle incognite x e y è diverso da zero:

,

possiamo attribuire alla z un valore arbitario (parametro) e risolvere il seguente sistema con la regola di Kramer:

Essendo:

                      e         

si ottiene:

                    e                     

quindi le soluzioni del sistema considerato saranno:

                                  

dove z può assumere un valore arbitrario (parametro).