Equazioni Differenziali Del 2° Ordine - Omogenee

Equazioni Differenziali Del 2° Ordine

-          Omogenee –

-         

ay¢¢ + by¢ + cy = 0

Equazione caratteristica: al² +bl +c = 0                             

Tramite la seguente formula si trovano l₁ e l₂                  -b±Ö(b² – 4ac) / 2a

     A seconda del valore del D (b² – 4ac)  il risultato sarà il seguente:

1. l₁ ¹ l₂                          D>0                 Y = C₁e^l1x  + C₂e^l2x 
2. l₁ = l₂                          D=0                 Y = C₁e^l1x  + C₂xe^l1x  = e^l1x  (C₁+C₂x)
3. l_1,2  =  a±bi               D<0                 Y = e^ax  (C₁cosbx+C₂senbx)

- Non Omogenee -

ay¢¢ + by¢ + cy = d(x)

Integrale generale = integrale generale della omogenea associata + un integrale particolare della non omogenea

A seconda del tipo di d(x) si procede nei seguenti modi:

1. Se d(x) è un polinomio di grado n allora anche l’integrale particolare è un polinomio di grado n se C ¹ 0 altrimenti di grado n+1
2. Se d(x) ha la forma e^ax  P⁽ⁿ⁾(x) l’integrale particolare è del tipo e^ax  P⁽ⁿ⁾(x) se a non è radice dell’ equazione caratteristica; se a è soluzione dell’equazione caratteristica allora l’integrale particolare avrà la forma    x e^ax  P⁽ⁿ⁾(x); infine se a è soluzione doppia dell’equazione caratteristica (D=0) l’integrale particolare avrà la forma x² e^ax  P⁽ⁿ⁾(x)

Naturalmente se dovesse mancare il polinomio, e^ax  va considerato come se fosse moltiplicato per un polinomio di grado zero (una costante K) quindi la soluzione particolare avrà la forma A e^ax  se a non è soluzione dell’equazione caratteristica,altrimenti il polinomio va moltiplicato per x o x² a seconda dei casi sopra elencati.

3. Se d(x) ha la forma e^ax [ A⁽ⁿ⁾ (x)cosbx + B⁽ⁿ⁾ (x)senbx ] l’integrale

     particolare ha la stessa forma a meno che a±bi non è soluzione della

     caratteristica altrimenti occorre moltiplicare tutto per x.

4. Principio della sovrapposizione degli effetti:

se la d(x) ha, per esempio, la forma d(x) = x + e^x + senx    non si ricade nei casi precedenti, ma scomponendola in tre parti(in questo caso) si ottiene la soluzione particolare sommando alla soluzione generale Y1,Y2 e Y3.

Y₁(x) = Ax + B

Y₂(x) = Ce^x (oppure Ce^x x se il coeficente di e^x coincide con l₁ ; oppure Ce^x      x² se il coeficente di e^x coincide con l_{1 º} l₂)

Y₃(x) = Dcosx + Esinx