L’impatto delle geometrie non-euclidee nella storia del
pensiero matematico
1.
INTRODUZIONE
La maggior parte delle persone probabilmente ignora che,
più o meno un secolo e mezzo fa, avvenne nel campo della geometria una
rivoluzione che fu profonda, dal punto di vista scientifico, quanto la
rivoluzione copernicana in astronomi e importante, dal punto di vista
filosofico, quanto la teoria darwiniana dell’evoluzione. In effetti la
conseguenza più significativa che ebbe la creazione della geometria
non-euclidea fu che essa obbligò i matematici a rivedere radicalmente le loro
idee sulla natura della matematica e sui suoi rapporti con il mondo fisico.
Nonostante che i greci avessero riconosciuto che lo spazio
matematico astratto è distinto dalle percezioni sensoriali dello spazio reale,
tutti i matematici fino al 1800 circa erano convinti che la geometria euclidea
fosse l’idealizzazione corretta delle proprietà dello spazio fisico e delle
figure al suo interno contenute. Di conseguenza si verificarono molti tentativi
per costruire l’aritmetica, l’algebra e l’analisi sulla geometria euclidea,
garantendo così anche la verità di queste discipline.
E’ altresì degno di nota il fatto che i filosofi della fine
del Seicento e del Settecento avessero sollevato il problema di come si potesse
essere certi che il corpo di conoscenze più ampio prodotto dalla scienza newtoniana
risultasse vero. Quasi tutti, e in particolare Hobbes, Locke e Leibniz,
risposero che le leggi matematiche 232i83c , come la geometria euclidea, erano inerenti
al disegno dell’universo. L’unica eccezione significativa fu David Hume, che
nel “Treatise of Human Nature” (1739) negò l’esistenza di leggi o di
successioni necessarie di eventi nell’universo, sostenendo che
dall’osservazione di queste successioni gli esseri umani erano indotti a
concludere che esse si sarebbero ripetute nello stesso modo. In particolare, le
leggi della geometria euclidea non sono verità fisiche necessarie. Questa
ipotesi fu controbattuta e soppiantata da Immanuel Kant; egli sosteneva, nella
“Critica della ragion pura” (1781), che le nostre menti forniscono certi modi
di organizzazione dello spazio e del tempo detti intuizioni e che l’esperienza
viene assorbita e organizzata dalle nostre menti in accordo con queste
intuizioni. Le nostre menti sono costruite in modo tale da obbligarci a vedere
il mondo esterno in un unico modo. Di conseguenza certi principi concernenti lo
spazio sono anteriori all’esperienza; questi principi e le loro conseguenze
logiche, che Kant chiama giudizi sintetici a priori, sono quelli della
geometria euclidea. Sulle basi ora descritte, Kant affermava che il mondo
fisico deve essere euclideo e la sua opinione fu quella accettata dal senso
comune, che riconosceva l’unicità e la necessarietà della geometria euclidea.
Malgrado la geometria euclidea sia stata considerata per
circa 2000 anni la sola e vera scienza adatta a descrivere le proprietà dello
spazio che ci circonda, numerosi geometri dall’epoca di Euclide in poi,
analizzando criticamente e con rigore la sua opera, si resero conto di alcune
imperfezioni e tentarono di rimediarvi; un certo senso di inquietudine rimase
comunque, nonostante tutti questi tentativi. Nel 1829 poi comparve la prima
vera opera che proponeva esplicitamente la costruzione di una geometria
non-euclidea, composta dal matematico russo Lobachevskij, e con essa si può
dire che fu segnato l’inizio di una vera e propria rivoluzione in campo
geometrico. E’ significativo che contemporaneamente a Lobachevskij, idee simili
fossero venute a Gauss e a Bolyai, i quali non avevano pubblicato niente
sull’argomento: il mondo scientifico era dunque pronto per la rivoluzione.
2.
STORIA DEL POSTULATO
DELLE PARALLELE
Euclide presentò il V postulato con le parole: “ Se una
linea retta, incidendo con due linee rette forma angoli interni dalla stessa
parte la cui somma è minore di due angoli retti, le due linee rette, se estese
indefinitamente, si incontrano dalla parte
in cui la somma degli angoli è minore di due angoli retti ”.
( Ð a )° + ( Ð b )° < 180°
Il fatto che Euclide stesso non nutrisse simpatia per
questo postulato è evidente: egli rimandò il suo impiego in una dimostrazione
il più a lungo possibile, cioè fino alla XXIX proposizione del primo libro
degli Elementi. Il postulato fu anche messo in dubbio dai greci del tempo di
Euclide e dei secoli successivi.
Proclo (410-485 d.c.) criticò il postulato delle parallele
sostenendo che l’affermazione secondo cui le due rette, dato che convergono, si
incontreranno in un punto se prolungate, era possibile ma non necessaria. Egli
portò a favore della sua ipotesi l’esempio di un ramo di iperbole che si
avvicina al suo asintoto senza mai incontrarlo, asserendo che l’opposto della
conclusione di Euclide poteva perlomeno essere immaginato. Proclo diceva: “ E’
quindi chiaro da ciò che dobbiamo cercare una dimostrazione del presente
teorema e che esso è alieno dal carattere speciale dei postulati ”.
Per oltre 2000 anni alcuni tra i migliori matematici, a
partire da Proclo stesso e da Tolomeo, tentarono di dimostrare il V postulato
di Euclide. Si giunse così a John Wallis (1616-1703), il più grande matematico
inglese prima di Newton. Wallis non cercò di dimostrare il V postulato in
geometria assoluta ma propose un nuovo assioma, che riteneva più plausibile di
quello delle parallele e dimostrò quest’ultimo a partire dal nuovo assioma e da
quelli di geometria assoluta.
Postulato di Wallis: Dato un triangolo qualsiasi ABC e dato un qualsiasi
segmento DE, esiste un triangolo DEF, avente DE come uno dei lati, che è simile
al triangolo ABC.
Si intende ovviamente che triangoli simili sono triangoli i
cui vertici possono essere messi in corrispondenza biunivoca in modo che gli
angoli corrispondenti siano congruenti tra loro. Purtroppo il tentativo di
Wallis è fallito: non c’è alcuna ragione per considerare il suo postulato più
plausibile di quello di Euclide. In realtà si può dimostrare che essi sono
logicamente equivalenti (cioè che ciascuno implica l’altro). Si deve ricordare
poi il lavoro del gesuita Girolamo Saccheri (1667-1733). Poco prima di morire,
pubblicò un libriccino intitolato “ Euclides ab amni naevo vindicatus ”, del
quale non ci si accorse fino ad un secolo e mezzo dopo, quando fu riscoperto
dal matematico Eugenio Beltrami. L’idea di Saccheri era di procedere con una
dimostrazione per assurdo. Assunse perciò la negazione del postulato delle
parallele e cercò di dedurre una contraddizione. Più in dettaglio, egli studiò
certi quadrilateri, i cui angoli alla base sono angoli retti e i cui lati
verticali sono tra loro congruenti. Questi quadrilateri in seguito sono
divenuti noti con il nome di quadrilateri di Saccheri. Si può dimostrare in
geometria assoluta (ovvero la geometria euclidea anteriore all’introduzione del
V postulato) che in un quadrilatero di Saccheri gli angoli al vertice sono
congruenti. Si hanno pertanto i tre possibili casi seguenti:
1.
gli angoli al vertice sono retti.
2.
gli angoli al vertice sono ottusi.
3.
gli angoli al vertice sono acuti.
Volendo dimostrare il primo caso, che è poi il caso della
geometria euclidea, Saccheri cercò di vedere che gli altri due conducono a
contraddizioni. Riuscì a trovare che il caso 2) porta ad una contraddizione: se
gli angoli al vertice fossero ottusi, la somma degli angoli del quadrilatero
sarebbe maggiore di 360°, contraddicendo il teorema che afferma che la somma
degli angoli interni di un quadrilatero convesso è al più 360°. Benché si
occupasse della questione con grande accanimento, non fu in grado di dimostrare
che l’ipotesi 3) è contraddittoria. Alla fine affermò deluso che l’ipotesi
dell’angolo acuto era assolutamente falsa, semplicemente perché ripugnante per
la natura della linea retta. Nonostante non se ne fosse reso conto, Saccheri
aveva scoperto la geometria non-euclidea.
In un approccio simile al problema della parallela, Johann
Heinrich Lambert (1728-1777) studiò quadrilateri con almeno tre angoli retti,
che adesso sono noti con il suo nome. Dedusse inoltre molte proposizioni
non-euclidee dall’ipotesi dell’angolo acuto ma, a differenza di Saccheri, non
affermò di aver trovato una contraddizione. Lambert dimostrò che l’ipotesi
dell’angolo acuto implica che l’area di un triangolo è proporzionale al suo
difetto angolare e ricavò che questa ipotesi corrisponde alla geometria su una
sfera di raggio immaginario.
3.
LA SCOPERTA DELLA GEOMETRIA NON-EUCLIDEA
Come è già stato accennato nell’introduzione, la nascita
della geometria non-euclidea non è attribuibile ad un solo matematico: infatti
su questa rivoluzionaria teoria lavorarono contemporaneamente, anche se in
luoghi diversi e non in contatto fra loro, matematici del calibro di Gauss,
Bolyai e Lobachevskij. Fra questi l’unico che pubblicò il suo lavoro fu il
russo Lobachevskij, il quale però non fu molto apprezzato finché fu in vita. Il
suo lavoro, tradotto in tedesco, fu lodato da Gauss in una lettera inviata al
collega russo, nella quale però Gauss ribadì anche la sua priorità in quel
campo, come aveva già fatto in occasione dell’analisi del lavoro sullo stesso
tema presentatogli da Bolyai. E’ opportuno ricordare infatti che Gauss lavorò
sulla teoria della geometria non-euclidea fin dall’età di 15 anni. Uno dei
motivi per cui non pubblicò mai il suo lavoro, probabilmente il più importante,
fu che egli aveva paura degli “ strilli dei Beoti ”, come scrisse in una
lettera a F.W. Bessel nel 1829; Gauss “ Nutriva -infatti- una grande antipatia
per l’essere coinvolto in qualsiasi sorta di polemica ”. Un’altra ragione era
il fatto che egli era un perfezionista e il suo grande impegno nei vari rami
della matematica e nelle altre discipline scientifiche, in primo luogo
astronomia, geodesia e fisica, gli impedirono di portare il suo lavoro in una
forma chiara e compiuta come avrebbe desiderato.
Soltanto successivamente alla morte di Gauss, avvenuta nel
1855, quando venne pubblicata la sua corrispondenza, il mondo matematico
cominciò a considerare le idee non euclidee seriamente. Alcuni dei migliori
matematici del tempo (Beltrami, Klein, Poincarè e Riemann) la estesero,
perfezionandola ed applicandola ad altri settori della matematica, tra cui, ad
esempio, la teoria delle funzioni complesse. Nel 1868 il matematico italiano
Beltrami sistemò una volta per tutte la questione della ricerca di una
dimostrazione del postulato delle parallele: mostrò infatti che nessuna
dimostrazione era possibile! Ottenne questo risultato dimostrando che la
geometria non-euclidea è non contraddittoria nel caso anche la geometria
euclidea lo sia, e viceversa.
4.
LA GEOMETRIA IPERBOLICA
La geometria iperbolica è, per definizione, la geometria
che si ottiene assumendo tutti gli assiomi della geometria assoluta e
sostituendo il postulato delle parallele (ad esempio nella forma data da
Hilbert: per ogni retta s e per ogni punto P che non giace su s, c’è al più una
retta m che passa per P ed è parallela ad s, ovvero che non interseca s.) con
la sua negazione, che può essere chiamata “assioma iperbolico”.
Assioma iperbolico: in geometria iperbolica esistono una retta s ed un punto
P che non giace sulla retta s, tali che almeno due rette parallele a s e
distinte passano per P.
Come conseguenza immediata dell’assioma iperbolico si ha:
Lemma:
esiste un triangolo la cui somma degli angoli è minore di 180°.
Usando questo lemma, si può ricavare una versione
universale dell’assioma iperbolico. Il postulato della parallela in geometria
euclidea afferma che per ogni retta e per ogni punto esterno alla retta, vale
l’unicità della parallela. La sua negazione, l’assioma iperbolico, afferma che
per qualche retta s e qualche punto P esterno ad essa non vale più l’unicità
della parallela. Ci si può chiedere se in geometria iperbolica l’unicità della
parallela non valga più per qualche retta s e qualche punto P esterno ad essa,
ma valga per tutti gli altri punti e le altre rette. Ciò è impossibile, come è
affermato dal seguente teorema:
Teorema universale iperbolico: in geometria iperbolica per ogni retta s e per ogni
punto P, esterno ad S, passano per P almeno due parallele distinte
ad s.
Si hanno subito alcune conseguenze che sono apparentemente
sconcertanti per chi è sempre stato abituato a ragionare con mentalità euclidea
e a basarsi soprattutto su ciò che può suggerire un disegno, una
rappresentazione figurata di ciò che si vuole dimostrare.
Teorema: in
geometria iperbolica non esistono rettangoli e tutti i triangoli hanno somma
degli angoli minore di 180°.
Questo risultato non è assolutamente campato per aria, non
è una pura follia come si poteva inizialmente pensare, ma è solo una
conseguenza logica degli assiomi assunti; riguardo a questi non ha senso
parlare di verità o falsità e nessuna ragione ci può costringere a respingere
l’assioma iperbolico e ad accettare in pieno quello euclideo. In questo caso
dobbiamo convincerci che non esistono evidenze, non esistono prove certe,
inconfutabili che, ad esempio, la somma degli angoli interni di qualsiasi
triangolo sia esattamente 180°. Non si può negare già fin da adesso che quello
che è stato creato è veramente un nuovo universo.
Corollario: in
geometria iperbolica tutti i quadrilateri convessi hanno somma degli angoli
minore di 360°.
Un altro teorema che non ha corrispettivo in geometria
euclidea è il seguente:
Teorema: in
geometria iperbolica se due triangoli sono simili, allora sono congruenti. (In
altri termini, due triangoli sono congruenti se hanno tutti gli angoli
congruenti due a due).
Quindi in geometria iperbolica non può valere il postulato
di Wallis, poiché quest’ultimo implica il postulato della parallela.
Per riassumere, in geometria iperbolica è impossibile
ingrandire o contrarre un triangolo senza distorcerlo.
Una conseguenza notevole del precedente teorema è che in
geometria iperbolica un segmento può essere determinato con l’aiuto di un
angolo; ad esempio, un angolo di un triangolo equilatero determina univocamente
la lunghezza del relativo lato. Sarebbe lecito sostenere che la geometria
iperbolica possiede un’unità di lunghezza assoluta.
In geometria euclidea, tracciate due rette parallele,
comunque si scelga un punta A su una delle due rette, condotta la
perpendicolare all’altra retta, su questa si individua un punto A’: la distanza
AA’ è costante al variare del punto A sulla prima retta e viene detta distanza
tra le rette parallele: due rette parallele sono quindi equidistanti.
In geometria iperbolica si dimostra invece il seguente
risultato:
Teorema: in
geometria iperbolica se s ed s’ sono due rette distinte qualsiasi parallele,
allora qualunque insieme di punti di s equidistanti da s’ contiene al più due
punti.
Il teorema afferma che al più due punti alla volta su s
possono essere equidistanti da s’. Una figura per rappresentare questo fatto
può essere la seguente:
Questa figura suggerisce che il punto “nel mezzo” di s è il
più vicino a s’ e che s si allontana da s’ simmetricamente da entrambi i lati
di questo punto medio. Si dimostra che questo è proprio ciò che accade.
Tuttavia si deve notare che il teorema precedente non esclude un’altra
possibilità, cioè che non ci siano coppie di punti di s equidistanti da s’. Una
figura per questo caso potrebbe essere la seguente:
In questa figura i punti su s sono a distanze diverse da
s’: s si allontana da s’ in una direzione e le si avvicina nell’altra, senza
incontrarla. In tal modo coppie diverse di rette parallele non devono
necessariamente somigliarsi: alcune potrebbero essere come quelle della prima
figura, altre come quelle della seconda.
E’ molto significativo enunciare anche i seguenti teoremi,
poiché espongono dei risultati piuttosto chiarificatori su ciò che si può
dimostrare a partire dagli assiomi della geometria iperbolica.
Teorema: in
geometria iperbolica se s ed s’ sono rette parallele per cui esiste una coppia
di punti A e B su s equidistanti da s’, allora s ed s’ hanno un segmento
perpendicolare comune che è anche il segmento più corto tra s ed s’. (In questa
situazione si verifica ovviamente il caso rappresentato nel primo disegno).
Teorema: in
geometria iperbolica, se le rette s ed s’ hanno un segmento perpendicolare
comune MM’, allora sono parallele e MM’ è unico; inoltre se A e B sono punti
qualsiasi su s tali che M sia il punto medio del segmento AB, allora A e B sono
equidistanti da s’.
I teoremi precedentemente esposti permettono di raggiungere
una buona comprensione del primo tipo di rette parallele. Sappiamo d’altronde
che tali rette esistono perché possiamo costruirle. Si considera una retta s
qualsiasi ed un punto P esterno ad essa. Dal punto P si traccia la
perpendicolare PQ a s e la retta m sia la perpendicolare a PQ nel punto P. Allora
m ed s hanno il segmento perpendicolare PQ in comune. Coppie di punti su m
disposti simmetricamente rispetto a PQ sono pertanto equidistanti da s. In
virtù del teorema iperbolico universale esistono altre rette n passanti per P
parallele a s. Tuttavia non siamo in grado di dire che una qualsiasi di tali
rette sia una parallela del secondo tipo, poiché n ed s potrebbero avere una
perpendicolare comune in un altro punto diverso da P.
Come possiamo allora accertare che esistono parallele del
secondo tipo? Qui entra in gioco l’assioma di continuità. Quella seguente è
l’idea intuitiva: consideriamo una semiretta PS della retta m e consideriamo
varie rette tra PS e PQ. Alcune di queste semirette, come PR , intersecano s,
altre, come PY, no. Un’argomentazione di continuità mostra che quando il
punto R si allontana indefinitamente dal
punto Q rimanendo su s, PR si avvicina ad una certa semiretta limite PX che non
incontra s. La semiretta PX è limite nel seguente senso: qualsiasi semiretta
tra PX e PQ interseca s, mentre qualsiasi altra semiretta PY tale che PX è tra
PY e PQ, non interseca s. La semiretta PX può essere chiamata semiretta
parallela limite sinistra a s per il punto P. Allo stesso modo, c’è una
semiretta parallela limite destra dal lato opposto di PQ.
Si può formalizzare questa idea con il seguente teorema:
Teorema:
per ogni retta s e per ogni punto P esterno ad s, sia Q il piede della
perpendicolare condotta da P a s. Allora ci sono due sole semirette PX e PX’,
da parti opposte rispetto a PQ, che non incontrano s e hanno la proprietà che
una semiretta uscente da P incontra s se e solo se si trova tra PX e PX’.
Inoltre queste semirette limite sono disposte simmetricamente rispetto s PQ nel
senso che ÐXPQ @ ÐX’PQ
Ognuno dei due angoli congruenti Ð XPQ e Ð X’PQ
viene chiamato angolo di parallelismo al punto P rispetto alla retta s.
La sua misura in gradi di solito viene indicata con p(PQ)°. si noti che p(PQ)° < 90° poiché,
se fosse p(PQ)° = 90°, ciò contraddirrebbe il teorema iperbolico
universale. Si può mostrare che, mentre P varia, p(PQ)° assume tutti i
possibili valori tra 0° e 90°. Una delle più grandi scoperte di J. Bolyai e di
Lobachevskij è la loro formula per questo numero di gradi
tg a/2 = e -d/k
dove K è una costante in geometria iperbolica introdotta
nel seguente :
Teorema: in
geometria iperbolica c’è una costante positiva K tale che, per ogni triangolo
ABC si ha:
area (ABC) = (p/180°)K2 * difetto (ABC)
(per cui segue subito come corollario che in geometria
iperbolica l’area di ogni triangolo è al più pK2 essendo
al più difetto (ABC) = 180°).
In conclusione abbiamo discusso due tipi di rette parallele
ad una retta s data. Il primo tipo consiste delle parallele m tali che s ed m
hanno una perpendicolare comune, m diverge da s da entrambi i lati della
perpendicolare comune. Il secondo tipo consiste delle parallele che si
avvicinano ad s asintoticamente in una direzione. Se m è una parallela del
secondo tipo, si può dimostrare che s ed m non hanno una perpendicolare comune.
Abbiamo così implicato che questi due sono gli unici tipi di rette parallele
possibili e questo è il contenuto del seguente teorema:
Teorema:
data m, parallela ad s, tale che m non contenga una semiretta limite parallela
ad s in nessuna direzione, allora esiste una perpendicolare comune a m ed a s
(che è unica per uno dei teoremi precedenti).
Per riassumere, dato un punto P esterno ad una retta s,
esistono esattamente due semirette parallele ad s per P, una in ciascuna
direzione. Ci sono infinite rette per P che non sono contenute nella regione
fra le semirette limite e s. Ognuna di esse è parallela divergente a s e
ammette un’unica perpendicolare comune con s (per una di queste rette la
perpendicolare comune passerà per P, ma per tutte le altre la perpendicolare
comune passerà per altri punti).
Una parallela alla retta s che contiene una semiretta
parallela limite ad s in una data direzione sarà chiamata una parallela
asintotica in quella direzione, e una parallela a s che ammette una
perpendicolare comune sarà chiamata una retta parallela divergente.
5. INDIPENDENZA DEL
POSTULATO DELLE PARALLELE
Dopo aver preso visione dei primi risultati che logicamente
si possono ottenere dagli assiomi della geometria iperbolica, si potrebbe
pensare che il postulato di base della geometria iperbolica - l’assioma
iperbolico - sia falso. Esaminiamo allora cosa potrebbe voler dire affermare
che esso è falso. Supponiamo di ammettere che, quando si lascia cadere un
oggetto esso cada verso l’alto. Si può eseguire l’esperimento scoprendo che
quello che avevamo ammesso è falso. Ora, che tipo di esperimento si potrebbe
fare per dimostrare che l’assioma iperbolico è falso, o che la sua negazione,
il postulato delle parallele, è vero? Si potrebbe provare a rappresentare una
figura. Supponiamo di disegnare la retta PQ perpendicolare a s e la retta m per
P perpendicolare a PQ, e quindi una retta n per P, formante un angolo molto
piccolo (e gradi) con m. Usando la trigonometria euclidea si può
determinare il punto in cui si suppone che n intersechi s, ma se e è abbastanza piccolo,
quel punto potrebbe essere a milioni di metri di distanza. Ecco che
l’esperimento non sarebbe possibile, vanificando lo sforzo di dimostrare la
falsità dell’assioma iperbolico. Ci si può allora domandare se l’assioma
conduce ad una contraddizione. Saccheri sosteneva di sì, e per questo cercò di
trovare un’argomentazione matematica capace di causare una contraddizione; ma
il suo tentativo fallì. Ciò non implica che un giorno qualcuno non trovi una
contraddizione. Non c’è infatti nessun teorema che dimostri che la geometria
iperbolica è non contraddittoria. Ma lo stesso vale per la geometria euclidea:
come sappiamo che essa è non contraddittoria?
E’ notevole il fatto che se assumiamo questo implicitamente
(assunzione matematica), allora è possibile dare una dimostrazione che la
geometria iperbolica è non contraddittoria. Poniamo questa possibilità come un
teorema:
I teorema matematico: se la geometria non euclidea è non contraddittoria, allora
lo è anche quella iperbolica.
Dando per buono questo risultato, otteniamo il seguente
importante corollario:
Corollario: se
la geometria euclidea è non contraddittoria, allora non si potrà mai trovare
una dimostrazione o una contro-dimostrazione del postulato della parallela a
partire dagli altri postulati di Hilbert, ovvero il postulato della parallela è
indipendente dagli altri postulati.
Per dimostrare il corollario supponiamo al contrario che
esista una dimostrazione del postulato della parallela. Allora la geometria
iperbolica sarebbe contraddittoria, poiché l’assioma iperbolico contraddice un
risultato provato. Ma il I teorema matematico afferma che la geometria
iperbolica è non contraddittoria , relativamente a quella euclidea. Questa
contraddizione dimostra che non esiste alcuna dimostrazione del postulato della
parallela (dimostrazione per assurdo). Il I teorema matematico, nella
formulazione data, è dovuto a Eugenio Beltrami (1835-1900).
Per dimostrare il I teorema matematico dobbiamo ancora
chiederci che cosa è una retta in geometria iperbolica; in effetti che cos’è il
piano iperbolico? La risposta onesta è che non lo sappiamo, è soltanto
un’astrazione. Una retta iperbolica è un termine indefinito che descrive un
concetto astratto che assomiglia al concetto di retta euclidea tranne che per
le proprietà di parallelismo. Allora, come potremmo visualizzare la geometria
iperbolica? La questione della visualizzazione consiste nel trovare oggetti
euclidei che rappresentino oggetti iperbolici. Questo significa trovare un
modello euclideo per la geometria iperbolica: in questo modo dimostreremo
l’indipendenza del postulato della parallela dal sistema di assiomi che forma
la base della geometria assoluta.
Il primo modello che consideriamo è detto “ modello di
Klein ”. Fissiamo un cerchio g nel piano euclideo. Se O è il centro di g e OR è un suo raggio,
l’interno di g per definizione consiste di tutti i punti X tali che OX
< OR.
Nel modello di Klein i punti all’interno
di g rappresentano i punti del piano iperbolico. Ricordiamo che
una corda di g è un segmento AB che unisce due punti A e B sulla
circonferenza bordo di g. Consideriamo il segmento senza gli estremi, che
chiameremo una corda aperta )A,B( . Nel modello di Klein le corde aperte di g rappresentano le
rette del piano iperbolico. La relazione “ giace su ” è rappresentata nel senso
abituale: P giace su )A,B( significa che P giace sulla retta euclidea AB e P
sta fra A e B. La relazione iperbolica “ tra ” è rappresentata dall’analoga
relazione euclidea. La rappresentazione della congruenza è invece molto più
complicata. E’ immediatamente chiaro che l’assioma iperbolico vale in questa
rappresentazione:
Qui le due corde aperte m ed n per P sono entrambe
parallele alla corda aperta s, perché si deve ricordare che la definizione di
parallele dice che due rette sono parallele se non hanno alcun punto in comune.
Nella rappresentazione di Klein questo diventa: due corde aperte sono parallele
se non hanno punti in comune. Il fatto che la tre corde, se prolungate, possono
incontrarsi fuori del cerchio g è irrilevante; i punti fuori da esso non rappresentano
punti del piano iperbolico.
Riassumiamo allora la dimostrazione di Beltrami-Klein
relativa alla non contraddittorietà della geometria iperbolica come segue. In
primo luogo si stabilisce un glossario per tradurre i 5 teoremi indefiniti
(punto, retta, giace su, tra e congruente) nelle loro interpretazioni nel
modello euclideo. In secondo luogo dobbiamo interpretare gli assiomi del
sistema. Per esempio il primo assioma dell’incidenza ha la seguente
interpretazione nel modello di Klein:
Assioma di incidenza 1 (Klein): dati due punti qualsiasi distinti A, B nell’interno del
cerchio g, esiste un’unica corda aperta s di g tale che sia A che B
giacciono su s.
Quando si è dimostrato che tutti i gli assiomi interpretati
sono teoremi di geometria euclidea, qualsiasi dimostrazione di una
contraddizione entro la geometria iperbolica potrebbe essere tradotta con il
nostro glossario in una dimostrazione di una contraddizione in geometria
euclidea. Visto che abbiamo assunto che la geometria è non contraddittoria,
segue che non esiste alcuna dimostrazione del genere. Così, se la geometria
euclidea è non contraddittoria, lo è anche quella iperbolica.
Un aspetto positivo del modello di Klein è che è semplice
visualizzare le semirette parallele limite. Sia P un punto interno a g ed esterno alla corda
aperta )A,B( . A e B sono punti del bordo di g, quindi non rappresentano
punti del piano iperbolico; si dice che rappresentano punti ideali e sono
chiamati esterni alla retta iperbolica rappresentata da )A,B( .Allora le
semirette parallele limite ad )A,B( da P sono rappresentate dai segmenti PA e
PB con gli estremi A, B esclusi. E’ chiaro che qualunque semiretta tra queste
semirette parallele limite interseca la corda aperta )A,B( , mentre tutte le
altre semirette che escono da P non la intersecano.
Anche in un modello a forma di disco dovuto ad Henry
Poincarè (1854-1912) i punti del piano iperbolico sono rappresentati dai punti
interni ad un cerchio euclideo g, ma le rette sono rappresentate in modo diverso. Prima di
tutto le corde aperte passanti per il centro O di g (cioè i diametri
aperti s di g) sono rette. le altre rette sono date da archi aperti di
circonferenze ortogonali al bordo di g. Più precisamente: sia d un cerchio ortogonale
a g (in ogni punto di intersezione di g e d i raggi di g e d per quel punto sono
perpendicolari). Allora l’intersezione della circonferenza di d con l’interno di g dà un arco aperto m,
che, per definizione, è una retta iperbolica nel modello di Poincarè.
Un punto interno a g giace su una retta di Poincarè se giace su essa nel senso
euclideo. Ugualmente la relazione “ tra ” ha l’abituale interpretazione
euclidea (se A, B, C sono su un arco aperto di una circonferenza d, ortogonale al bordo
del modello, di centro P, B si trova tra A e C se PB è tra PA e PC).
L’interpretazione del concetto di congruenza di segmenti nel modello di
Poincarè è complicata, essendo basata su un modo di misurare la lunghezza che è
diverso dall’abituale modo euclideo, proprio come nel modello di Klein. La congruenza
di angoli, comunque, ha lo stesso significato euclideo e questo è il vantaggio
più grande del modello di Poincarè rispetto a quello di Klein. Si ricorda che,
se due archi circolari orientati si intersecano in un punto A, la misura
dell’angolo che formano è il numero dei gradi dell’angolo formato dalle
semirette che sono a loro tangenti nel punto A. Se invece un arco circolare
orientato interseca in A una semiretta ordinaria, la misura dell’angolo che
formano è per definizione il numero dei gradi dell’angolo formato tra la
semiretta tangente all’arco in A e la semiretta ordinaria.
Avendo interpretato
tutti i termini indefiniti della geometria iperbolica nel modello di Poincarè,
otteniamo per sostituzione, le interpretazioni di tutti i termini definiti. Ad
esempio due rette di Poincarè sono parallele se e solo se non hanno punti in
comune. Allora tutti gli assiomi della geometria iperbolica vengono tradotti in
proposizioni di geometria euclidea. Quindi, il modello di Poincarè fornisce
un’altra dimostrazione del fatto che, se la geometria euclidea è non
contraddittoria, lo anche la geometria iperbolica.
Le semirette parallele limite nel modello di Poincarè sono
illustrate come segue:
Qui è stata scelta s come un diametro aperto )A,B( ; le
semirette sono archi circolari che incontrano AB in A e in B e sono tangenti a
tale retta in quei punti. Si può vedere come queste semirette si avvicinino
asintoticamente ad s quando ci si muove verso i punti ideali rappresentati da A
e B.
La figura seguente illustra due rette di Poincarè parallele
con una perpendicolare comune.
Il diagramma mostra
come m diverga da s da entrambe le parti della perpendicolare comune PO.
La
figura seguente invece illustra un quadrilatero di Lambert. Si può vedere bene
che il quarto angolo è acuto:
Riflettendo la figura rispetto al lato DA otteniamo un diagramma che
illustra un quadrilatero di Saccheri:
Si può essere sorpresi dall’esistenza di due diversi
modelli di geometria iperbolica, uno dovuto a Klein e l’altro a Poincarè (c’è
addirittura un terzo modello, dovuto anch’esso a Poincarè). Tuttavia si può
intuire che questi modelli non sono essenzialmente diversi. In effetti, questi
due modelli sono isomorfi, nel senso tecnico che si può stabilire una
corrispondenza biunivoca tra i punti e le rette dei modelli in modo da
mantenere le relazioni di incidenza, stare tra e congruenza. Si può illustrare
questo isomorfismo come segue:
Cominciamo col modello di Klein e consideriamo, nello
spazio euclideo tridimensionale, una sfera posta sul piano del modello di Klein
e tangente ad esso nell’origine. Proiettiamo ortogonalmente verso l’alto
l’intero modello di Klein sull’emisfero inferiore di questa sfera: con questa
proiezione le corde del modello di Klein diventano archi di circonferenza
ortogonali all’equatore. Proiettiamo allora stereograficamente dal polo nord
della sfera sul piano originario. L’equatore della sfera si proietterà su una
circonferenza più grande di quella usata per il modello di Klein e l’emisfero
inferiore si proietterà stereograficamente nell’interno della circonferenza.
Con queste successive trasformazioni, le corde del modello di Klein saranno
applicate biunivocamente nei diametri e negli archi ortogonali del modello di
Poincarè. In questo modo si può stabilire l’isomorfismo tra i modelli.
Veramente si può anche dimostrare che tutti possibili modelli di geometria
iperbolica sono isomorfi tra loro. Nell’ulteriore modello di Poincarè prima
ricordato, i punti del piano iperbolico sono rappresentati dai punti di uno dei
due semipiani euclidei determinati da una retta euclidea fissata. Se usiamo il
modello cartesiano del piano euclideo, di solito si sceglie come retta l’asse X
e quindi si usa come modello il semipiano superiore che consiste di tutti i
punti di coordinate (X,Y) con Y > 0. Le rette iperboliche sono rappresentate
in due modi:
1)
come semirette uscenti da punti dell’asse X e perpendicolari all’asse
stesso;
2)
come semicirconferenze nel semipiano superiore con centro sull’asse X.
L’incidenza e lo stare tra hanno l’abituale interpretazione
euclidea. Per stabilire l’isomorfismo con i modelli precedenti, si sceglie un
punto E sull’equatore della sfera della figura precedente e sia p il piano tangente
alla sfera nel punto diametralmente opposto ad E. La proiezione stereografica
da E su p applica l’equatore in una retta di p e l’emisfero
inferiore nel semipiano inferiore determinato da questa retta. Si noti che i
punti di questa retta sono punti ideali. Tuttavia manca un punto ideale: il
punto E si perde nella proiezione stereografica. Si immagina perciò un punto
ideale all’infinito (¥) che corrisponda ad E; esso è l’estremo comune di tutte le
semirette verticali.
6. LE DISTANZE
IN GEOMETRIA IPERBOLICA
Una difficoltà del modello di Poincarè è che, benché
rappresenti fedelmente gli angoli del piano iperbolico, distorce le distanze.
Così è naturale chiedersi se esista un altro modello che rappresenti anche le
distanze come quello euclideo. Se ci fosse tale modello, sarebbe detto
isometrico. Un’idea abbastanza naturale è cercare tale modello in qualche
superficie dello spazio euclideo tridimensionale. Le rette del piano iperbolico
sarebbero allora rappresentate da geodetiche sulla superficie e ci aspetteremmo
che la superficie sia curva, in modo da rispecchiare la nostra sensazione che
le rette iperboliche sono realmente curve (per definizione, il segmento di
geodetica tra due punti su una superficie è il cammino più corto sulla
superficie tra i due punti, come sulla superficie di una sfera un segmento di geodetica è un arco
di meridiano). Un difficile teorema di Hilbert afferma che è impossibile
applicare l’intero piano iperbolico isometricamente su una superficie dello
spazio euclideo. Invece è possibile applicare il piano euclideo isometricamente
nello spazio iperbolico, come una superficie detta orosfera. La superficie che
rappresenta isometricamente questa regione si chiama pseudosfera. E’
ottenuta ruotando una curva, detta trattrice, intorno al suo asintoto.
Assomiglia ad un cono infinitamente lungo. In questa rappresentazione i
diametri dell’arco di orociclo (curva limite:
rappresentata con una circonferenza interna al piano g e tangente
internamente ad esso) sono stati identificati - incollati insieme - cosicché
l’applicazione del settore nello spazio euclideo è veramente solo
un’applicazione della regione tra i diametri. La trattrice è caratterizzata dal
fatto che il segmento di tangente da qualsiasi punto sulla curva all’asintoto
verticale ha lunghezza costante a. La rappresentazione sulla pseudosfera fu
scoperta da Beltrami, usando un lavoro precedente di Minding.
7. CONCLUSIONI
Nei punti precedenti abbiamo dimostrato come la non
contraddittorietà della geometria euclidea implichi la non contraddittorietà
della geometria iperbolica e viceversa. Viene naturale, dunque, di pensare che
entrambe le geometrie debbano essere considerate ugualmente importanti. Per
quale motivo, allora, la geometria iperbolica non è utilizzata usualmente per
rappresentare il mondo fisico? Molto semplicemente perché la geometria euclidea
si adatta perfettamente per la misurazione e l’interpretazione del mondo che ci
circonda, come ci è dimostrato dall’ingegneria e dall’architettura. Questo
adattamento viene comunque meno nel momento in cui si passa alla misurazione di
distanze maggiori rispetto a quelle usuali. Potremmo, infatti, pensare che la
somma degli angoli interni di un triangolo, i cui vertici sono molto distanti
(per esempio tre stelle), non sia esattamente 180°. Gauss provò ad effettuare
questo esperimento, misurando la somma degli angoli interni del triangolo i cui
vertici erano le cime di tre montagne. La sua misurazione risultò essere di
molto inferiore a 180°, ma il suo esperimento non si può ritenere valido a
causa dell’errore degli strumenti utilizzati nella misurazione. Può esserci
comunque utile come spunto di riflessione. Proviamo allora ad immaginare che il
risultato della misurazione fosse stato esattamente di 180°, con un errore di ± 1/100 di
grado. Possiamo solo concludere che la somma poteva variare fra 179.99° e 180.01°.
Immaginiamo adesso che la misurazione fosse risultata di 179°, con il medesimo
errore: ciò vuol dire che la somma può variare tra 178.99° e 179.01°. In questo
caso saremmo stati certi che il risultato è inferiore a 180°: l’esperimento
avrebbe così dimostrato che lo spazio fisico è iperbolico. Riassumendo, se
fossimo in grado di compiere delle misurazioni precise, si potrebbe dimostrare
soltanto che lo spazio fisico è iperbolico.
Potremmo allora concludere che entrambe le geometrie
possono essere parimenti sfruttate: quella euclidea per quanto riguarda lo
spazio fisico, quella iperbolica per quanto riguarda lo spazio astronomico.
Purtroppo fare un discorso come questo è troppo semplicistico.
E’ opportuno, infatti, indagare la natura dei nostri
strumenti: essi sono progettati sulla base di ammissioni euclidee; indagare la
nostra concezione di rette: non potrebbe darsi che i raggi luminosi viaggino su
traiettorie curve? Dobbiamo indagare se lo spazio, specialmente l spazio di
dimensioni cosmiche, non può venire descritto da geometrie diverse dalle due
suddette. Quest’ultimo problema, in effetti, è coerente con l’odierno
atteggiamento scientifico. Secondo Einstein, lo spazio e il tempo sono
inseparabili e la geometria dello spazio-tempo è tale che i raggi luminosi sono
veramente incurvati dall’attrazione gravitazionale esercitata dalle masse. Lo
spazio non è più concepito come una vuota scatola Newtoniana, i cui contorni
sono alterati dalle masse poste al suo interno. Il problema è molto più
complicato di quanto mai immaginarono Euclide o Lobachevskij: nessuna delle
loro geometrie è adeguata per l’attuale concezione dello spazio. Questo non
diminuisce l’importanza storica della geometria non euclidea. Einstein disse:
“A questa interpretazione della geometria io attribuisco grande importanza,
perché, se non l’avessi avuta presente, non sarei mai stato in grado di
sviluppare la teoria della relatività”.(Infatti Einstein sviluppò una geometria
appropriata alla relatività generale dalle idee di Riemann).
Si riporta ora la famosa risposta di Poincarè alla domanda
su quale sia la geometria vera:
“Se la geometria fosse scienza sperimentale, non sarebbe
una scienza esatta. Sarebbe soggetta a revisioni continue..... Quindi gli
assiomi geometrici non sono intuizioni sintetiche a priori, né fatti
sperimentali. Sono convenzioni. La nostra scelta tra tutte le possibili
convenzioni è guidata dai fatti sperimentali; ma rimane libera ed è soltanto
limitata dalla necessità di evitare ogni contraddizione, ed è così che i
postulati possono rimanere rigorosamente veri anche quando le leggi
sperimentali che hanno determinato la loro scelta sono solo approssimate. In
altre parole gli assiomi della geometria (non parlo di quelli dell’aritmetica)
sono solo definizioni camuffate. Allora, che cosa dobbiamo pensare della
questione: la geometria euclidea è vera? Ciò è privo di senso. Ugualmente
potremmo chiederci se il sistema metrico è vero e se i vecchi pesi e misure
sono falsi, se le coordinate cartesiane sono vere e quelle polari false. Una
geometria non può essere più vera di un’altra: può solo essere più conveniente.
”. Si potrebbe pensare che la geometria euclidea sia la più conveniente: lo è
per l’ordinaria ingegneria, ma non per la teoria della relatività. Per di più,
c’è chi sostiene, ad esempio Luneberg, che lo spazio visivo, lo spazio
tracciato nel nostro cervello attraverso i nostri occhi, sia descritto in modo
più appropriato dalla geometria iperbolica.
Questa discussione getta nuova luce su ciò di cui si occupa
la geometria e, in generale, la matematica. La geometria non tratta i raggi
luminosi, ma la traiettoria di un raggio luminoso è una possibile
interpretazione fisica del termine geometrico, indefinito “retta”. Bertrand
Russel disse una volta: “La matematica è la scienza in cui non si a di che cosa
si stia parlando ne se quello che si dice sia vero”. Questo perché certi
termini primitivi, come punto, retta e piano sono indefiniti e potrebbero
essere sostituiti da altri termini senza mutare la validità del risultato.
Invece di dire: “due punti individuano un’unica retta”, si potrebbe dire: “due
alfa determinano un unico beta”. Nonostante questo cambio di termini, le
dimostrazioni di tutti i teoremi sarebbero ancora valide, poiché le
dimostrazioni corrette non dipendono dai diagrammi: dipendono solo dagli
assiomi posti e dalle leggi della logica. Così, la geometria è puramente un
esercizio formale nel dedurre certe conclusioni da certe premesse formali. La
matematica fa affermazioni del tipo “se....allora....”; non dice niente sul significato
o sulla verità delle ipotesi. Le nozioni primitive (come punto e retta) che
compaiono nelle ipotesi sono definite implicitamente da questi assiomi, dalle
regole che, così per dire, ci dicono come giocare. Il punto di vista
formalistico fin qui presentato è radicalmente opposto alla più vecchia idea
secondo cui la matematica afferma “verità assolute”, un’idea che venne
distrutta definitivamente dalla scoperta delle geometria non-euclidea.
Quest’ultima ha avuto un effetto liberatorio sui matematici, che adesso si
sentono liberi di creare qualsiasi insieme di assiomi a loro piaccia, e di
dedurre le più diverse conclusioni. In effetti questa libertà potrebbe
giustificare il grande aumento in estensione e generalizzazione della
matematica moderna.
In un discorso del 1961 Jean Diendonnè osservò a proposito
della scoperta di Gauss della geometria non-euclidea:
“Fu una svolta di capitale importanza nella storia della
matematica, poiché segnò il primo passo verso una nuova concezione della
relazione tra il mondo reale e i concetti matematici ritenuti in grado di
spiegarlo; con la scoperta di Gauss, il punto di vista piuttosto ingenuo che
l’oggetto della matematica fossero soltanto “idee” (nel senso platonico) di
cose sensibili divenne insostenibile, e gradualmente fece strada ad una
migliore comprensione della molto più grande complessità della questione,
riguardo alla quale oggi ci sembra che la matematica e la realtà siano quasi
completamente indipendenti e che i loro punti di contatto siano più misteriosi che
mai”. Questo pensiero sembra riportarci al filosofo greco Eraclito, secondo il
quale la realtà non è conoscibile per gli uomini, ma è un ente misterioso, che
addirittura si nasconde alle loro affannose ricerche.
