POLITECNICO DI TORINO

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA ELETTRICA

CORSO DI MACCHINE ELETTRICHE

RIFASAMENTO E FUNZIONAMENTO

IN PARALLELO DEI TRASFORMATORI

 

ESERCIZIO 1

1)  Per il calcolo della tensione di alimentazione  (U2) si fa riferimento alla seguente figura :

La si può 626c28g calcolare utilizzando la formula della caduta di tensione industriale:

DU₂ = a I_2n [(R_2CC cos(_c )+ X_2CC sin(_c)]= a I_2n Z_2CC[cos(cc)cos(_c)+ sin(cc)sin(_c)]=

       = a I_2n Z_2CC[cos(cc-_c)

o anche    DU₂ = a

dove                                              

dove il pedice “cc” si riferisce ai parametri del trasformatore in corto circuito mentre il pedice “c” al carico.

Sostituendo questi valori nella formula 1 si ottiene :      DU₂ =14,2 [V]

Si ricava la tensione di alimentazione come:                  U₂=U_20n-D U₂=385,8 [V]

La potenza assorbita é semplicemente data da:             

2) Il rendimento della trasformazione é definito da

h =

dove :

sostituendo questi valori nella formula si ottiene :

=93.5%

3) Il rendimento massimo lo si ottiene per

che sostituito nella formula del rendimento parta al seguente risultato :

0,937

4) La situazione é indicata nella figura seguente

	U1n

La potenza reattiva assorbita dal condensatore risulta essere:

ed è anche vero che :

Uguagliando si ottiene :                    

5) La variazione di tensione sul carico risulta essere pari a :

6) Il rendimento della trasformazione a rifasamento avvenuto risulta essere dato sempre da :

= =0,942=94,2%

dove :

ESERCIZIO 2

CASO 1 :

Si sceglie come primo caso quello che permette di sfruttare al massimo in corrente il trasformatore dato in partenza (TA) ; ciò significa che la corrente erogata da tale trasformatore sarà pari a quella nomimale :

dal momento che il carico assorbe una corrente pari ad :

allora la differenza di corrente dovrà essere erogata dal trasformatore TB :

Viene tra l’altro richiesto che il funzionamento in parallelo dei due trasformatori sia perfetto. A tale proposito si possono imporre tre condizioni, di seguito riportate :

·                             (parallelo ottimale e  imponendo che  )

·                     (correnti  ed  siano in fase  )

                                            (corrente di circolazione nulla in modo tale che nel funzionamento                        a vuoto non ci siano perdite).

Dalle prime due condizioni si può anche ricavare che :

Possiamo a questo punto elencare i dati di targa del trasformatore TB , accanto a quelli del trasformatore TA:

                      

                                                 TA                                                                                           TB

  A_nA=72 [kVA]                                    A_nB=52 [kVA]                                          

U_1nA=3 [kV]                                       U_1nB=3 [kV]

   U_2n0A=400 [V]                                    U_2n0B=400 [V]

fnA=50 [Hz]                                       fnB=50 [Hz]

V_ccA%=4,8%                                       V_ccB%=4,8%

P_ccA%=3.2%                                        P_ccB%=3.2%

P_0A=2/3P_ccA                                                                P_0B=2/3P_ccB

Per quanto riguarda l’ultimo dato ,cioè le perdite nel ferro, questo sarà differente per i due trasformatori dal momento che :

Calcoliamo ora il rendimento complessivo del parallelo

htot = =94.3%

dove :

Per il calcolo della potenza  assorbita dal carico si è reso necessaria la conoscenza della tensione sullo stesso ,che è stata calcolata nel modo seguente :

DU = a=17,4 [V]

da cui

U_C=U_20n-D U=382,6 [V]

La tensione di alimentazione del carico è maggiore di 380[V] e questo soddisfa anche l’altra richiesta  della traccia.

Possiamo ora calcolare i rendimenti dei due trasformatori presi separatamente :

hA = =94.28%

dove :

 

hB = =94.3%

dove :

CASO 2 :

Imponiamo che la tensione di alimentazione sul carico sia di 385[V]. è possibile calcolare la c.d.t. come :

DU =400-385 [V]= 15[V]

da cui è possibile risalire al fattore di carico :

Noto il fattore di carico andiamo a determinare la corrente erogata dal trasformatore TA :

Con I_c = 310.56[A] già calcolata prima ,si avrà  che :

Si deduce quindi che i due trasformatori sono praticamente identici.

Calcoliamo ora i rendimenti :

htot= =94.4%

dove :

Ovviamente in questo caso i rendimenti parziali sono uguali a quello complessivo.

Confrontando le due soluzioni si nota come la seconda soluzione risulti essere più cautelativa per eventuali sovraccarichi.

Per calcolare il rendimento che si potrebbe ottenere con una singola macchina di potenza adeguata possiamo effettuare il seguente ragionamento.

Nella formula del rendimento di un trasformatore abbiamo al numeratore  la potenza erogata che risulta essere proporzionale ,tramite il prodotto tra tensione e corrente ,alla quarta potenza della dimensione  lineare :

 

Al denominatore troviamo invece lo stesso termine ,che costituisce il numeratore, sommato alle potenze perse per effetto Joule  ed a quelle nel ferro che dipendono dalla terza potenza della dimensione lineare:

Pertanto sostituendo nella formula del rendimento avremo :

in questa espressione  rappresenta una costante a parità di condizioni di carico.

Supponiamo ora che la macchina che deve sostituire il parallelo dei due trasformatori abbia una potenza pari a quella erogata dal parallelo esaminato nella seconda soluzione, ed abbia ovviamente una diversa dimensione lineare che indicheremo con l’. Per  questa macchina potremo allora scrivere che :

 

Visto che il carico risulta essere lo stesso allora potremo scrivere che :

 

Rimane quindi da calcolare il rapporto tra le dimensioni lineari ,ma per le considerazioni fatte in precedenza potremo scrivere che :

Sostituendo nella formula precedente si ricava che :

  

Si può ora osservare che essendo

dove (Vol) indica il volume di uno dei due trasformatori collegati in parallelo. Si nota quindi che scegliendo un’unica macchina  si hanno vantaggi sia in termini di rendimento che in termini di materiale utilizzato.

ESERCIZIO 3

a)  La formula che consente di calcolare la corrente di circolazione è la seguente :

supponendo ora che le cadute di tensione sui parametri trasversali siano uguali ,nella formula si potrà semplificare il secondo addendo .La relazione che quindi useremo sarà la seguente :

In queste relazioni il apice “ ’’ ” sta ad indicare che stiamo lavorando supponendo di aver trasportato tutti i parametri al secondario.

La formula 1 può essere riscritta nel seguente modo :

Bisogna ora calcolare le impedenze che compaiono al denominatore in modulo e fase .Per le fasi abbiamo che :

Per i moduli abbiamo invece :

Quindi sostituendo nella formula della corrente di circolazione si ottiene :

b)  La potenza dissipata a vuoto può essere calcolata come la somma delle potenze perse per effetto Joule e nel ferro in entrambi i due trasformatori :

Quindi in definitiva avremo :

c) Per il calcolo della tensione di alimentazione facciamo riferimento al seguente circuito :

Questo circuito per il teorema di Thevenin si può rappresentare nel modo seguente:

Dobbiamo a questo punto calcolare sia il valore di U20eq che quello dell’impedenza equivalente.

Possiamo scrivere che :

Per calcolare il generatore di tensione equivalente si potrebbe applicare il principio di sovrapposizione  egli effetti oppure in modo molto più semplice scrivere che :

Come si vede l’angolo della tensione è molto piccola e quindi d’ora in poi la considereremo reale.

Possiamo a questo punto calcolare la caduta di tensione industriale :

e quindi la tensione di alimentazione del carico sarà pari ad :

d) Calcoliamo prima di tutto i rendimenti dei singoli trasformatori. A tale proposito ci serve prima

effettuare i seguenti calcoli :

In base a questi dati si ottiene :

Il rendimento complessivo sarà invece :