LEZIONE #8
La modellizzazione stocastica
Consideriamo
l’esperimento lancio di una moneta. Potremmo pensare di predirne il risultato
applicando le equazioni del moto di un corpo rigido a partire dalla posizione
iniziale e dalla forza e coppia impressa al momento del lancio (modellizzazione
deterministica del fenomeno). Un tale approccio non e’ evidentemente sensato,
non tanto per la complessita’ del modello matematico in gioco, quanto piuttosto
perche’ non e’ realistico pensare di misurare le quantita’ iniziali che
occorrono per predire il risultato. Ci sono casi in cui poi il model 959d39j lo in se’
e’ complicato per poter tener conto dei fattori che influenzano il fenomeno in
esame e casi in cui non e’ teoricamente possibile determinare alcune delle grandezze
in gioco.
In tali
situazioni si ricorre a una modellizzazione stocastica, che consiste nella
definizione di una legge di predizione della frequenza con cui si possono
presentare tutti i possibili risultati dell’esperimento.
Nel caso del
lancio della moneta tale previsione e’ che entrambi i risultati si possano
presentare il 50% delle volte.
Un esempio
importante di fenomeno stocastico, nel senso che non e’ possibile una
modellizazione deterministica per
prevederne il risultato, e’ la misura di precisione di una grendezza.
Ogni volta che si
esegue una misura intervengono fattori diversi, che si sommano e che non
controlliamo, che fanno si’ che il risultato sia sempre diverso.
In tale caso si
utilizza un modello di previsione delle frequenze dei risultati che e’ quello
normale.
Nel seguito
descriveremo alcuni modelli di previsione delle frequenze, gli ambiti di
applicazione e come si stimano i parametri da cui essi eventualmente dipendono
a partire da un numero limitato di ripetizioni dell’esperimento stocastico che
intendiamo modellizzare.
Definizione di probabilita’
La frequenza
prevista, definita a priori, dei risultati di un certo esperimento prende il
nome di probabilita’. Ci chiediamo come assegnare tale probabilita’. Secondo
una definizione classica, dovuta a Laplace, se un esperimento aleatorio da’
luogo a N risultati elementari (non ulteriormente scomponibili) e se non c’e’
alcun motivo per cui uno di questi si presenti piu’ frequentemente degli altri,
si assegna a ciascuno di essi una probabilita’ paria a 1/N.
Ad esempio nel
caso semplice del lancio della moneta, i risultati possibili sono 2 (testa e
croce), se la moneta non e’ truccata si assegna a ciascuno dei due risultati
probabilita’ pari a ½.
Si osservi come
la probabilita’ soddisfi esattamente alle stesse proprieta’ cui soddisfa la
frequenza relativa che si osserva ripetendo N volte l’esperimento. E’ cioe’ un
numero positivo compreso tra 0 e 1 e la probabilita’ che si verifichi o testa o
croce (ovvero dell’insieme formato da testa e croce), che e’ l’evento certo e’
pari a 1, cosi’ come la frequenza relativa dell’insieme contenete tutti i
risultati dell’esperimento e’ 1. La probabilita’ che non si verifichi ne’ testa
ne’ croce e’ altresi’ pari a zero; essa e’ la probabilita’ dell’insieme vuoto.
Una tale
definizione di probabilita’ non sempre e’ applicabile. Cosa succede se la
moneta e’ truccata?
Esiste una
definizione di probabilita’ generale, dovuta a Kolmogorov. Si tratta di una
definizione astratta e piu’ complessa che presuppone la conoscenza dell’algebra
degli insiemi e dalla teoria della misura.
Tale definizione
si semplifica nel caso in cui l’esperimento stocastico presenta un numero
finito e discreto di risultati. Ad esempio nel caso del lancio di un dado non
truccato i possibili risultati sono 1, 2, 3, 4, 5, 6. Chiamiamo W l’insieme contenente tutti i risultati
dell’esperimento, W = nell’esempio. Il singolo risultato si
chiama evento semplice. Di ognuno di tali eventi vogliamo conoscere la
probabilità. Ma vogliamo poter fare ben di più. Ad esempio dare le probabilità
che esca un numero dispari. Una tale congettura sui risultati si traduce
nell’insieme A = , che costituisce quello che chiamiamo un
evento complesso; anche di questo vogliamo poter dare la probabilità. Si
comprende come la probabilità vada definita per tutti i possibili eventi
complessi. L’insieme di tutti gli eventi complessi lo chiamiamo A .
Vogliamo altresì conoscere la probabilità di eventi complessi ottenuti
dall’unione o dall’intersezione di altri eventi complessi, ne consegue che
anche tali insiemi devono stare in A . Se l’insieme degli eventi elementari W è finito e discreto tale insieme A è quello che contiene tutti i sottoinsiemi di W. A =. Nel caso più generale si indicheranno le
proprietà di tale insieme, che sono quelle che definiscono una sigma algebra di
eventi. Individuato A o
in maniera astratta definite le caratteristiche che esso deve possedere si può
definire la probabilità, nuovamente in maniera astratta, come una funzione che
ad ogni elemento di A fa
corrispondere un numero reale compreso tra 0 e 1 che soddisfa alle proprietà
assiomatiche (di una misura) seguenti:
Notiamo che la
definizione di Laplace verifica le
proprietà assiomatiche precedenti.
Tramite i teoremi
sulle probabilità possiamo poi calcolare la probabilità di tutti gli eventi
complessi contenuti in A
Teorema della probabilità totale
Se A e B sono due
insiemi non disgiunti di W,
.
Possiamo
esprimere l’insieme 
come unione di due insiemi disgiunti, di cui
sappiamo calcolare la probabilità sulla base delle proprietà assiomatiche
A sua volta, l’insieme A puo’ essere scritto
come l’unione di due insemi disgiunti:
per cui:
ne segue che
e quindi
Nel caso del
lancio del dado, supponiamo che A sia l’insieme dei risultati pari e B sia
l’insieme dei primi due risultati pari e del 5, l’insieme unione sarà:
È=
L’intersezione
sarà
Ç=
P (È)=P()=4/6=P()+P()-P()=3/6+3/6-2/6=4/6
La probabilita’ condizionata e
l’indipendenza stocastica di due eventi
Definiamo la
probabilità di un evento A condizionata ad un evento B.
Con lo stesso
ragionamento fatto per le distribuzioni condizionate nelle variabili
statistiche a due dimensioni si ha che
Il fatto che
l’evento B si sia verificato, fa si’ che la probabilita’ di B sia pari a 1,
ovvero costitusce il nuovo insieme deglieventi possibili (che era W). P(A|B) e’ allora la probabilita’
dell’evento A pensato come sott’insieme di B. Tale probabilita’ si ottiene
dividendo la probabilita’ di quella parte di A che sta in B, P(AÇB), riferita all’insieme W per la probabilita’ di B sempre riferita
a W. Se A coincide con B, ritroviamo cosi’ che P(B|B)=1.
Due eventi si
dicono indipendenti stocasticamente se
=P(A)
Ovvero se il
fatto di sapere che si è verificato l’evento B, P(B)=1, cioe’ che l’insieme dei
risultati dell’esperimento è ridotto a B, non cambia la probabilità di A.
Teorema della probabilità composta
Ciò premesso, il
teorema della probabilità composta afferma che condizione necessaria e
sufficiente affinchè due eventi siano stocasticamente indipendenti è che la
probabilita dell’intersezione si spacchi nel prodotto delle probabilità dei
singoli eventi.
Condizione
necessaria
Se 
(ipotesi)
Allora A e B sono stocasticamente indipendenti, cioè 
(tesi).
Infatti che in base all’ipotesi diventa 
Condizione
sufficiente
Se (ipotesi)
Allora (tesi)
Infatti , e in base
all’ipotesi , ne segue
che
=P(A) e quindi che .
Teorema di Bayes
Supponiamo di
suddividere lo spazio dei risultati W possibili di un esperimento in n sott’insiemi
disgiunti Bi i=1,2,…,n.
Sia inoltre A un
sott’insieme di W. Il teorema
di bayes permette di calcolare la probabilita’ di ciascuna partizione Bi
condizionata all’evento A, ovvero quando l’insieme dei risultati e’ ristretto
al sott’insieme A di W, quando siano note le probabilita’ di A
condizionate a ciscuno dei sott’insiemi Bi.
Infatti
ovvero
(*)
L’insieme A
d’altra parte puo’ essere pensato come
ovvero come
unione di insiemi disgiunti tra loro.
Per il teorema
della probabilita’ totale allora
che sostituita
nella (*) ci da’ la formula di Bayes.
