Serie di Fourier :
Se f(x) è una funzione continua a tratti
nell’intervallo [0,2p] e pensata ripetuta periodicamente la si
può rappresentare tramite la serie di Fourier:
Per il teorema dell’espressione dei
coefficienti si ha:
1) Scrivere la serie di Fourier per la funzione periodica di periodo 2p, che nel tratto [-p,p] è
definita da :
Essendo f(x) una funzione pari, la serie di Fourier relativa ad essa
risulterà costituita da soli
coseni.
Essendo la funzione derivabile in tutti i
punti dell’intervallo, si ha sempre la convergenza ad f(x).
2) Scrivere la serie di Fourier per la funzione:
3) Si
scriva la serie di Fourier relativa alla funzione di periodo 2p, così definita e se ne calcoli la somma per x=0 e per x=p.
La funzione è dispari quindi la serie di
Fourier risulterà costituita da soli seni:
La serie, limitatamente all’intervallo [-p,p], converge ad f(x), ed ha come somma per
x=0 il valore 0 , e nel punto x=p ancora il
valore 0.
4) Si scriva la serie di Fourier relativa alla
funzione di periodo 2p, così definita:
La funzione è pari, quindi la serie di Fourier
ad essa relativa avrà solo coseni:
La serie, limitatamente all’intervallo [-p,p] converge ad f(x).
5) 
La funzione 
, non essendo
nè pari nè dispari, si scriverà come
serie di Fourier
avente sia seni
che coseni. Dunque la serie
si scriverà sotto la forma
La serie può essere dunque scritta come:
La serie converge per qualunque valore di x, perché la è derivabile in tutti
i punti di continuità, e nei punti 
che sono singolari, ha derivata a destra e a
sinistra .
Converge ad nei punti di
continuità ossia nell’intervallo
mentre converge a 
nei punti 
; converge a 0 nel punto 
Serie di Taylor :
1) Dare una stima del numero “e” con otto cifre
decimali esatte
2) Scrivere
lo sviluppo in serie di MacLaurin per la funzione 
3) Fornire una stima di sen0.5 con un errore non
superiore ad un millesimo
Per dare
una stima di
questo numero posso
usufruire dello sviluppo
della funzione seno
in serie di MacLaurin
calcolata in x=0,5
sen x=
Scrivendo
il resto 2n+1-esimo e
imponendolo minore di 0,001
si ottiene una valutazione del
resto
non superiore ad
un millesimo :
si ha
nella formulazione di
Lagrange (-1)
trattandosi di
angoli
molto
piccoli (si ricordi che 
) la
funzione coseno è
approssimabile senza errori
significativi
a 1. Si conclude
che:
4) Calcolare
la derivata ottava nel punto x=0 per la funzione:
Problemi di convergenza di
serie :
1) Studiare la convergenza puntuale ed uniforme nelle
seguenti serie:
Si tratta di una
serie geometrica di ragione q=
Essa converge se 
<1;ovvero se: 
con la condizione di
realtà:
; 
; 
; 
;
;
La serie risulta
convergente nell’aperto 
;divergente per altri
valori di x che rendono reale il logaritmo.
2) 
Essendo il limite
minore di 1 la serie e’ assolutamente convergente in modo indipendente da X; si
ha anche convergenza uniforme.
