TEORIA DEI SEGNALI - SEGNALI CERTI

TEORIA DEI SEGNALI

SEGNALI CERTI

– GRANDEZZE ASSOCIATE AI SEGNALI (energia, potenza, media, mutua energia e potenza, invarianza per traslazione, durata convenzionale di un segnale) 

– SPAZI VETTORIALI DI SEGNALI (prodotto scalare=mutua energia o potenza, segnali ortogonali e paralleli, somme di se 414f51e gnali (E_x+y=E_x+E_y+2Re[E_xy]), basi ortogonali ed ortonormali, coordinate, norma di un segnale, teorema di Parseval E_x,P_x=å|x_k|² ed E_xy,P_xy=åx_ky_k^*)

– SERIE E TRASFORMATA DI FOURIER (teorema di Parseval, trasformate di alcune funzioni, proprietà delle trasformate (vedi dopo), integrazione e derivazione dei segnali di energia).

– CONVOLUZIONE TRA 2 SEGNALI (la trasformata è il prodotto delle trasformate, calcolo della convoluzione, proprietà: commutatività, durata T=T_x+T_y, traslazione nel tempo c(t-t_x-t_y)).

– CORRELAZIONE PER SEGNALI DI ENERGIA (proprietà: R_xy(0)=E_xy, R_xy(t)=R^*_yx(-t), |R_xx(t)|<|R_xx(0)|, la trasformata dell' autocorrelazione è½X(f)½², della mutua correlazione è X(f)Y^*(f) (Þ spettro di densità di mutua energia), invarianza per traslazioni) 

– CORRELAZIONE PER SEGNALI DI POTENZA: proprietà: R_xy(0)=P_xy, R_xy(t)=R^*_yx(-t),|R_xx(t)|<|R_xx(0)|, segnali periodici R_xy(t)=åx_k^*y_ke^j2pft, F[R_xy(t)]=spettro di densità di potenza, R_xx(t) è dello stesso periodo e precisamente R_xx(t)=1/TåR_gg(t-kT)

– ANALISI ARMONICA GENERALIZZATA (unificazione di segnali di energia e di potenza attraverso la R_xy(t) e S_x(f), proprietà della densità spettrale S_xy(f): òS_x(f)=E_x o P_x, è reale, non negativa e pari, R_xy=x(t)*y^*(-t) (o R_yx a seconda di come lo si definisce) ,

– SISTEMI LINEARI:

·  Proprietà: sovrapposizione degli effetti (Þ sistema lineare), permanenza (o stazionarietà), causalità, stabilità, istantaneità (o mancanza di memoria).

·  Risposta impulsiva h(t,t) cioè y(t)=T[x(t)]=(dimostrazione) (ipotesi di stazionarietà Þh(t-t)Þy(t)=x(t)*y(t), causalità Þò₀^¥, stabilità Þh(t) è al quadrato sommabile Þ$ F[h(t)]).

·  funzione di trasferimento H(f)=M(f)e^jj(f) (risposta in ampiezza e fase): (risposta ad un segnale armonico,sinusoidale e periodico, conseguenze dell'ipotesi di causalità sulla H(f), esempi di calcolo di H(f), H(f) nei circuiti, sistemi in serie H_eq=H₁×H₂, in parallelo H_eq=H₁+H₂, retroazione H_eq=H₁/(1-H₁×H₂), distorsione lineare, filtri).

·  Legame tra R_xx dell’ingresso e R_yy dell’uscita R_yx(t)=R_xx(t)*h(t), j_hh(t)=h(t)*h^*(-t)=funzione di autosistema, R_yy(t)=R_xx(t)*j_hh(t) ÞS_y(f)=S_x(f)½H(f)½²).

– SISTEMI NON LINEARI (non si può definire h(t), aggiungono componenti frequenziali, esempi di dispositivi non lineari)

– MODULAZIONE SU PORTANTI SINUSOIDALI  A(t)cosy(t)=A(t)cos[2pf₀t+j(t)]:

·  Inviluppo A(t), fase istantanea y(t) e frequenza istantanea y’(t)/2p; deviazione istantanea di fase e frequenza. In generale il segnale modulato è un passabanda, descrizione delle tre modulazioni.

·  Inviluppo complesso =A(t)e^jj(t), segnale z_x(t)= e loro interpretazione (ÞZ_x(f)=2X⁺(f) e =Z_x(f+f₀) con x⁺(t)=segnale analitico), x⁺(t) si ottiene da x(t) tramite  (x⁺(t)=), Þx(t)=Re[z_x(t)]

·  trasformata di hilbert:  è un filtro H_H(f)=-jsgn(f), proprietà (sono 4), è responsabile della soppressione della parte di spettro di X(f) a frequenze negative (serve per calcolare x⁺(t) in funzione di x(t)).

·  componenti analogiche di bassa frequenza x_c(t)+jx_s(t)=: legame diretto e inverso con x(t) e  (in particolare x(t)=x_c(t)cos2pf_xt-x_s(t)sen2pf_xt=doppia modulazione), sono le antitrasf. delle parti pari e dispari di .

·  Interpretazione grafica di e z_x(t).

·  Considerazioni energetiche: (             ,                         ,               ,             , <X_c,X_s>=0,                    ).

·  Demodulazione in ampiezza (demodulatore normale e coerente).

·  Modulazione SSB_s

– CAMPIONAMENTO DEI SEGNALI: x_c(t)=åx(t_k)d(t-t_k) (Lo spettro del segnale campionato è X_c(f)= =F_cåX(f-kF_c)=infinite repliche a distanza F_c dello spettro X(f), condizione di Nyquist, teorema del campionamento x(t)=åx(kT_c)senc(pF_ct-kp) detto anche interpolazione del 1^o ordine, campionamento con tenuta, campionamento di segnali passa-banda).

TEORIA DELLA PROBABILITA’

– DEFINIZIONI: Esperimento, evento, spazio campione, probabilità di un’evento(approccio frequentistico, classico, assiomatico), 3 assiomi: P(A)³0, P(S)=1, AÇB¹Æ Þ P(AÈB)=P(A)+P(B)

– PROBABILITA’ CONDIZIONATA:  def. ,  A e B statisticamente indipendenti se P(B|A)=P(B) Þ P(A,B)=P(A)P(B), teorema della probabilità totale P(M)=åP(M|A_i)P(A_i), teorema di bayes.

– VARIABILI ALEATORIE:

·   Distribuzione di probabilità F_x(x) per def. è P(x£x), def. della densità di probabilità come la derivata di F_x(x)

·   v.aleatorie discrete:

1       v.binomiale (numero di successi su n prove) f_x(x)=                     m_x=np

2     v.di poisson (n°di successi su n®¥ prove con p®0 e np®l) f_x(x)= m_x=l

·  

2  v.gaussiana fx(x)=

v.aleatorie continue

1  v.uniforme f_x(x)=

4   v.di cauchy  fx(x)=

3  v.di rayleigh  f_x(x)= 

5  v.di rice  f_x(x)=      (con I₀==funzione di Bessel)

6  v.esponenziale  monolatera: f_x(x)=le^-lxu_-1(x) (m=1/l s²=1/l²), bilatera: f_x(x)= (m=0 s²=1/l²)

7 v.gamma f_x(x)=con =(b-1)! (per b=1 si ottiene l’espon.monolatera) invece per b=n=intero si ottiene la v.di erlang mentre per b=n/2 e a=1/2 si ottiene la v.chi-quadro.

·   composizione di var. aleat. (h=g(x) assume g(x₁) con la prob. con cui x assume x₁: es. h=x²) localmente, per f.monotone si ha: f_h(y)= ,per operazioni lineari h=ax+b:  f_h(y)=

·   momenti E[xⁿ] e E[(x-m)ⁿ] m₁=valor medio, m₂=valore quadratico medio, m₁=0, m₂=s²=varianza =m₂-m², se f_x(x) pari Þ m_2n+1=0 e m_2n+1=0, mediana e moda, m_n= e m_n=, skewness (simmetria) e kurtosis (gaussianità).

·   funzione caratteristica  C(u)==E[e^jux] (è un’antitr.di Fourier, f_x(x)=), caso discreto C(u)=åP_ke^juk, C_x(0)=1 (cond.di normalizzazione), f.caratteristiche di variabili aleatorie particolari (cauchy e gaussiana), proprietà:  e .

–VARIABILI ALEATORIE BIDIMENSIONALI

·   Def distribuzione congiunta F_xh(x,y), distr.marginale F_xh(x,+¥), densità congiunta, densità marginale.

·   Per eventi indipendenti (vedi probabilità condizionata) F_xh(x,y)=F_x(x)F_h(y) e, derivando, vale anche f_xh(x,y)=f_x(x)f_h(y).

·   Variabili aleatorie congiuntamente gaussiane (le densità marginali sono gaussiane).

·   Momento congiunto m_ij=E[xⁱh^j], m. centrale congiunto m_ij=E[(x-m_x)ⁱ(h-m_y)^j], m₁₁=E[xh]=correlazione, m₁₁=Cov(x,h)=covarianza, r==coefficiente di correlazione (-1£r£1), r=±1 Û h=±ax+b con a>0, r=0 Þincorrelate, E[x,h]=0 Þortogonali, x,h indipendenti ÜÞ incorrelate (“Ü” vale per le congiuntamente gaussiane), cov(x,h)=corr(x,h)-m_xm_y.

–TRASFORMAZIONI DI VAR. ALEAT. BIDIMENSIONALI

·   Composizioni di due variabili in una: w=x+h (+caso gaussiano), w=xh, w=x/h, w=, w=max(x,h), w=min(x,h).

·   Doppia trasformazione , teorema f_wz(w,z)=

·   linearità del momento e[ ]: se h=g(x) Þ E[h]=òg(x)f_x(x)dx, e se w=g(x,h) Þ E[w]=òòg(x,y)f_xh(x,y)dxdy, da ciò si dimostra che E[ax+bh]=aE[x]+bE[h].

–VARIABILI ALEATORIE CONDIZIONATE: def.analoga alla probabilità condizionata F_x|B(x|B)=P(x£x,B)/P(B),

·   B=”h£y”  Þ  F_x(x|h£y) e f_x(x|h£y) che è la derivata

·   B=”h=y”=”y£h£y+dy”  Þ  F_x(x|y) e f_x(x|y)

Proprietà analoghe alla probabilità condizionata.

– VARIABILI ALEATORIE N-DIMENSIONALI: matrici R, C e M, proprietà R – M^TM = C

– TEOREMA LIMITE CENTRALE

PROCESSI ALEATORI

–DEFINIZIONI(Tempo/stato-continui e discreti, statistiche=distribuzioni e densità del 1°…n° ordine)

–PROPRIETA’

·   Del 1°ordine: valor medio m_x(t)=òxf(x,t)dx=E[X(t)], Potenza P_x(t)=E[X²(t)], varianza m₂(t)=s_x²(t)=P_x(t)-m_x²(t).

·   Del 2°ordine:autocorrelazione R_xx(t₁,t₂)=E[X(t₁)X(t₂)], (potenza P_x(t)=E[X²(t)]=R_xx(t,t)), autocovarianza C_xx(t₁,t₂)=R_xx(t₁,t₂)-m(t₁)m(t₂), (varianza s_x²(t)=P_x(t)-m_x²(t)= C_xx(t,t)).

·   In generale per le statistiche di ordine n: Momento m_hk(t₁,t₂)=E[X₁^hX₂^k], Momento centrale m_hk(t₁,t₂)= =E[(X₁-m₁)^h(X₂-m₂)^k]

·   Per le mutue statistiche del 2°ordine: Mutua Correlazione R_xy(t₁,t₂)=E[X(t₁)Y(t₂)],Mutua Covarianza C_xy(t₁,t₂)=… , Coefficiente di Correlazione r_xy(t₁,t₂)=C_xy(t₁,t₂)/s_x(t₁)s_y(t₂), (stesse proprietà del r_xy delle var. aleatorie).

–ESTENSIONE AI PROCESSI COMPLESSI: R_xx(t₁,t₂)=E[X₁X₂^*]=R_xx^*(t₂,t₁),P_x(t)=E[|X(t)|²],C_xx(t₁,t₂)=R_xx(t₁,t₂)-m(t₁)m^*(t₂) (analogamente R_xy e C_xy)

–PROCESSI STAZIONARI

·   SSS se f.di densità dipende dalle n-1 t_n-t_n-1, … ,t₂-t₁, proprietà: stazionarietà di grado n Þ stazionarietà di grado 1…n-1, SSS di grado 1 Þ m_x,s²_x,P_x,m_x=cost. , SSS di grado 2 Þ R_xx(t),  C_xx(t)=R_xx(t)-m_x²

·   SSL se m_x(t)=cost. e R_xx(t₁,t₂)=R_xx(t).

·   R_xx(0)=P_x=R_xx(t,t)=P_x(t), C_xx(0)=s_x²=C_xx(t,t) Þ un processo SSL ha una potenza fissa.

·   Estensione ai proc. complessi R_xx(t)=E[X(t)X^*(t-t)], C_xx(t)=R_xx(t)-|m_x|² (analogia coi segnali certi).

·   Proc. congiuntamente SSL se R_xy(t), processi mutuamente ortogonali se R_xy(0)=0, incorrelati se R_xy(t)=0.

·   Altre proprietà:  Þ  (non vale sempre), R_yx(t)=R_xy^*(-t), C_yx(t)=C_xy^*(-t), Z(t)=X(t)+Y(t) è SSL se lo sono X(t) e Y(t), P_z=P_x+P_y+P_xy+P_yx

–ESEMPI DI PROCESSI ALEATORI

·   proc. normale(gaussiano): X(t) congiuntamente gaussiane per ogni t₁…t_n, completamente determinato da m_x(t) e C_xx(t₁,t₂), unico caso in cui SSL Þ SSS (dimostrazione).

·   proc. bianco: C_xx(t)=R_xx(t)=kd(t), m_x=0, X(t_i) e X(t_j) sono incorrelate per ogni t_i¹t_j perché C(t_i,t_j)=0, P_x=R(t,t)=R(0)=+¥=s_x², passaggio in un sistema lineare C_yy(t)=kj_hh(t)

·   proc. armonico: X(t)=Acos(2pf₀t+q) con q uniforme in [0,2p] con A e q indipendenti; è SSL.

·   proc. di poisson: (pag 290)

·   segnale telegrafico: X(t)=1 se in (0,t) cadono 2n punti e –1 se cadono 2n+1 punti distribuiti secondo Poisson di parametro l=intensità dei punti.

·   onda pam non stazionaria

–TRANSITO DEI PROCESSI ALEATORI NEI SISTEMI T[x(t,x_i)]=y(t,x_i)

·   Sistemi (lineari e non) istantanei: Y(t)=g[X(t)] (per le v.al. era h=g(x)), per l’istantaneità del sistema, si può calcolare f_Y(y,t) in funz.di f_X(x,t) analogamente alle v.al. (vedi composizione), m_y(t)=E[Y(t)]=E= =òg(x)f_X(x,t)dx, R_yy(t₁,t₂)=E[Y(t₁)Y(t₂)]=E[g[X(t₁)]g[X(t₂)]]=òòg(x₁)g(x₂)f_X1X2(x₁,x₂,t₁,t₂)dx₁dx₂, X(t) SSS di ordine n Þ Y(t) è SSS dello stesso ordine, mentre X(t) SSL Þ Y(t) SSL, esempio del quadratore.

·   Sistemi lineari e permanenti: Y(t)=X(t)*h(t) (operano solo sulla t quindi le v.al.sono come dei coefficienti) X(t) gaussiano Þ Y(t) gaussiano, m_y(t)=m_x(t)*h(t)=g[m_x(t)] se SSL Þ m_y=m_xH(0), R_xy(t₁,t₂)=R_xx(t_1,t₂)*h(t₂) (=g[R_xx] considerando come variabile t₂), R_yy(t₁,t₂)=R_xx(t_1,t₂)*h(t₁)*h(t₂), se X(t) è SSL, nel caso complesso, si ha R_xy(t)=R_xx(t)*h^*(t) e R_yy(t)=R_xx(t)*h(t)*h^*(-t) Þ Y(t) è SSL e X(t) e Y(t) sono congiuntamente SSL, (si ragiona analogam. per C_yy).

–SPETTRO DI UN PROCESSO SSL :

·   S^c_xx(f)=F[C_xx(t)] (spettro di densità di covarianza)

·   S_xx(f)=F[R_xx(t)]=F[C_xx(t)+m_x²]=S^c_xx(f)+m_x²d(f) (=P_X(f) spettro di densità di potenza), (1) S_xx(f)³0, (2) S_xx(f) è reale perché R_xx(t)=R^*_xx(-t), (3) òP(f)df=R_xx(0)=P_x=E[X²(t)].

·   S_xy(f)=S_x(f)H^*(f), S_y(f)=S_x(f)|H(f)|² Þ P_y=R_yy(0)=òS_x(f)|H(f)|²df.

–PROCESSI CICLOSTAZIONARI: def CSSS: f_X1..Xn(x₁…x_n,t₁…t_n)=f_X1..Xn(x₁…x_n,t₁+kT,…,t_n+kT), def CSSL: m_x(t)=m_x(t+kT) e R_xx(t₁,t₂)=R_xx(t₁+kT,t₂+kT), teorema 1 (Y(t)=X(t-q)): CSSSÞSSS e CSSLÞSSL (applicazione al proc. armonico e all’onda p.a.m.)

–PROCESSI ERGODICI IN MEDIA: medie delle f. membro m(k)=m(i)=m_x(t)=m_x

·   I cond.nec.e suff.

·   II cond.suff. ò|C_xx(t)|dt<+¥

·   III cond.suff.

·   teorema di slutsky

–PROCESSI ERGODICI IN CORRELAZIONE: le r_i(t) sono tutte uguali a R_xx(t)

–PROCESSI ERGODICI IN DISTRIBUZIONE: