Reti in regime armonico stazionario

Reti in regime armonico stazionario

Il segnale armonico generale è , in cui j_s è la fase del segnale, w è la pulsazione,  e S_m è l’ampiezza.

Per stazionario si intende il momento in cui i transitori si sono esauriti, ovvero per t che tende ad infinito o t >> t_MAX.

Si considerano reti lineari, tempo invarianti, risolubili, esponenzialmente stabili (ovvero tutte le frequenze naturali sono nel semipiano di sinistra).

Teorema

1) Per una rete del tipo esposto, che sia alimentata da generatori indipendenti di pulsazione w, si ha una risposta per t®¥ costituita da un segnale armonico di pulsazione w.

2) Le caratteristiche di questa risposta si possono trovare mediante un procedimento semplificato detto “calcolo fasoriale”.

Ciò vuole dire che una rete lineare dinamica, per t®¥, è come se fosse resistiva, allora tutte le reti lineari mantengono la pulsazione.

DIM:

S(t) ® h(t) ®y

y = y_zi + y_zs

Y_zs(t)=H(s)S(s)

, e ponendo  si ottiene

Si trovino i poli per la decomposizione in fratti semplici. I poli sono

Per t®¥ il primo termine tende a zero, quindi rimangono solo gli ultimi due residui:

, che è simile al segnale in ingresso. Se si hanno più segnali si applica il principio di sovrapposizione degli effetti, sempre che la pulsazione sia w.

Calcolo fasoriale

Dato un segnale armonico nella forma generica , si definisce fasore del segnale armonico la quantità . Per ogni segnale armonico esiste un unico fasore.

s(t) è funzione di (S_m, w, j_s) ®Re¬ fasore è funzione di (S_m, j_s)

Si ha così una corrispondenza lineare. y_f è armonico, quindi descrivibile tramite il proprio fasore.

Utilizzo dei fasori

1) Si sostituiscono i generatori indipendenti di differenza di tensione e di corrente con il proprio fasore;

2) Si sostituiscono i dispositivi del circuito con Z(jw);

3) Si valutano i fasori interessanti con i soliti metodi di risoluzione di reti resistive;

4) Si antitrasforma il fasore.

Caratteristiche

Il fasore non ha memoria della pulsazione, quindi, di questa, ci si deve ricordare in altro modo. Il fasore è un complesso, quindi si applica l’algebra dei numeri complessi.

segnale	fasore
cos(wt)	1
sin(wt)	-j

Data la generica caratteristica V(s) = Z(s)I(s) ®F®

- Resistore: Z_R = R;

- Induttore: Z_L = jwL;

- Condesatore: .

In generale l’impedenza si rappresenta come somma di due termini: la resistenza e la reattanza, ovvero Z = R(w) + jX(w). L’ammettenza si rappresenta come somma di induttanza e suscettanza, Y = 1 / Z = G(w) + jB(w), in cui .

Le espressioni di reattanza e suscettanza sono:

Z_L = jX_L = jwL ® X_L = wL

Solitamente conviene utilizzare H(s) e poi sostituire jw. Il calcolo fasoriale è utile in caso in cui:

- E’ impossibile utilizzare altro (come condensatori la cui caratteristica è espressa in Ohm);

- Si vogliono ottenere informazioni sul funzionamento della rete e problemi inversi.

In questi calcoli si utilizzano allora i diagrammi fasoriali, ovvero si rappresentano graficamente tutti i fasori della rete.

Risposta al variare di w

La rete è descrivibile tramite H(jw). Si pensi s(t) come contenente più componenti spettrali.

H(s) = L

H(jw) = l_{s = jw} =

Si ha la rete descritta come un filtro: dato uno spettro in ingresso, ottengo un altro spettro in uscita.

I principali tipi di filtri sono tre: il passa-alto, il passa-basso e il passa-banda.

Risonatori

Spesso occorrono dei filtri o circuiti passa-banda, come nella radio FM. Il risonatore ideale serie, costituito da una serie di condensatore e induttore, è uno di questi:

Si ha che l’intensità di corrente è nulla se , cosa che accade per , che è la pulsazione di risonanza. Fisicamente succede che se la tensione sul condensatore vale  e sull’induttore si ha . Nel caso in cui si abbia w₀ si ha un cortocircuito.

, in cui À è la dissonanza.

Il risonatore ideale non è realizzabile, si può però costruire il risonatore reale serie, come serie di una resistenza, un induttore ed un condensatore.

, in cui Q rappresenta il fattore di qualità del risonatore.

Se Q®¥ ho un risonatore migliore. Per ottenere la risposta su w, si effettua una traslazione. Si definisca Dw come l’intorno di w₀ tale che , allora  e w₁®À₁=1 / Q.

Dw è la banda a -3dB. Valori tipici di Q sono Q @ 100.

Riconoscere contributi risonanti in H(s)

Il denominatore si riscrive come

, in cui x è lo smorzamento.

. Dato che si ha risonanza per x < 1, allora la si ha per Q > 1 / 2.

I poli sono . Ho due poli complessi coniugati, e quindi un picco di risonanza. Se si attacca un utilizzatore si ha una risposta mutata, si può alloara attaccare un inseguitore di voltaggio.

Regime armonico con generatori a varie pulsazioni

Non si possono sommare fra loro i fasori, si sommano i segnali nel tempo. Le impedenze dipendono dalla frequanza.

Potenza in regime armonico

p = vi

Sapendo che